Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional, , e . A pergunta é: esse conjunto forma uma base para ? Para descobrir isso, vamos precisar usar conceitos de linearidade e independência linear, além de entender o que é uma base de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores seja uma base para . Uma base precisa satisfazer duas condições:
Linearmente Independentes: Nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Geram o Espaço: Qualquer vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.
Então, para verificar se é uma base, a gente precisa checar essas duas coisas.
Passo 3
Vamos começar verificando se os vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se a única solução é que todos os coeficientes sejam zero.
Isso significa resolver a equação:
Expandindo isso, temos:
Passo 4
Vamos separar isso por componentes:
Componente x:
Componente y:
Componente z:
Agora, temos um sistema de equações lineares:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema para ver se a única solução é a = b = c = 0.
Primeiro, da segunda equação:
-a + b - c = 0 Rightarrow a = b - c
Vamos substituir a na primeira equação:
a + 2b - c = 0 (b - c) + 2b - c = 0 3b - 2c = 0 Rightarrow 3b = 2c Rightarrow b = 23c
Então, c = 0, e como b = 23c, temos b = 0. E como a = b - c, também a = 0.
Passo 6
Como a única solução para o sistema é a = b = c = 0, os vetores u, v e w são linearmente independentes.
Passo 7
Agora, como temos três vetores linearmente independentes em um espaço tridimensional (E^3), eles também geram o espaço. Assim, satisfazem as duas condições para serem uma base.