Sejam u=(1,-1,3), v=(2,1,3) e w=(-1,-1,4).
(a) Verifique se E=u, v, w é uma base de E^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional, u=(1,-1,3), v=(2,1,3) e w=(-1,-1,4). A pergunta é: esse conjunto E = u, v, w forma uma base para E^3? Para descobrir isso, vamos precisar usar conceitos de linearidade e independência linear, além de entender o que é uma base de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que um conjunto de vetores seja uma base para E^3. Uma base precisa satisfazer duas condições:
  1. Linearmente Independentes: Nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  2. Geram o Espaço: Qualquer vetor em E^3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base.
Então, para verificar se E é uma base, a gente precisa checar essas duas coisas.

Passo 3

Vamos começar verificando se os vetores são linearmente independentes. Para isso, vamos montar uma combinação linear igual a zero e ver se a única solução é que todos os coeficientes sejam zero.
Isso significa resolver a equação:
au + bv + cw = 0
Expandindo isso, temos:
a(1,-1,3) + b(2,1,3) + c(-1,-1,4) = (0,0,0)

Passo 4

Vamos separar isso por componentes:
  1. Componente x: a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot (-1) = 0
    a + 2b - c = 0
  2. Componente y: a cdot (-1) + b cdot 1 + c cdot (-1) = 0
    -a + b - c = 0
  3. Componente z: a cdot 3 + b cdot 3 + c cdot 4 = 0
    3a + 3b + 4c = 0
Agora, temos um sistema de equações lineares:
a + 2b - c = 0 -a + b - c = 0 3a + 3b + 4c = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para ver se a única solução é a = b = c = 0.
Primeiro, da segunda equação:
-a + b - c = 0
Rightarrow a = b - c
Vamos substituir a na primeira equação:
a + 2b - c = 0
(b - c) + 2b - c = 0
3b - 2c = 0
Rightarrow 3b = 2c
Rightarrow b = 23c
Agora, substituímos a e b na terceira equação:
3a + 3b + 4c = 0
3(b - c) + 3(23c) + 4c = 0
3b - 3c + 2c + 4c = 0
3b + 3c = 0
Substituindo b = 23c:
3(23c) + 3c = 0
2c + 3c = 0
5c = 0
Rightarrow c = 0
Então, c = 0, e como b = 23c, temos b = 0. E como a = b - c, também a = 0.

Passo 6

Como a única solução para o sistema é a = b = c = 0, os vetores u, v e w são linearmente independentes.

Passo 7

Agora, como temos três vetores linearmente independentes em um espaço tridimensional ( E^3), eles também geram o espaço. Assim, satisfazem as duas condições para serem uma base.

Resposta

O conjunto E = u, v, w é uma base de E^3.

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