Uma reta r passa pelos pontos A(3,-2,1) e B(5,1,0). Determine as equações paramétricas e vetorial dessa reta. Encontre os pontos de r para t=-2, t=-1, t= 0, t=1 e t=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as equações paramétricas e vetorial de uma reta que passa pelos pontos e . Além disso, precisamos descobrir os pontos da reta para os valores de e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como representar retas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta d = B - A = (5 - 3, 1 - (-2), 0 - 1) = (2, 3, -1) . O vetor diretor aponta na direção da reta e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos e :

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor x = x0 + dx t y = y0 + dy t z = z0 + dz t , podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas descrevem cada coordenada x = 3 + 2t y = -2 + 3t z = 1 - t em função de um parâmetro :
Usando o ponto como ponto de referência:

Passo 4

A equa��ão vetorial da reta combina todas as coordenadas em uma única expressão vetorial. É escrita como:
r(t) = A + t cdot d
Substituindo os valores:
r(t) = (3, -2, 1) + t cdot (2, 3, -1)

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos da reta para os valores de x = 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1 y = -2 + 3(-2) = -2 - 6 = -8 z = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 e x = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1 y = -2 + 3(-1) = -2 - 3 = -5 z = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 . Vamos substituir cada valor de x = 3 + 2(0) = 3 y = -2 + 3(0) = -2 z = 1 - 0 = 1 nas equações paramétricas:
  1. Para x = 3 + 2(1) = 3 + 2 = 5 y = -2 + 3(1) = -2 + 3 = 1 z = 1 - 1 = 0 :
x = 3 + 2(2) = 3 + 4 = 7 y = -2 + 3(2) = -2 + 6 = 4 z = 1 - 2 = -1
Ponto:
  1. Para :
Ponto:
  1. Para :
Ponto:
  1. Para :
Ponto:
  1. Para :
Ponto:

Resposta

As equações paramétricas da reta x = 3 + 2t y = -2 + 3t z = 1 - t são:
r(t) = (3, -2, 1) + t cdot (2, 3, -1)
A equação vetorial da reta t = -2: (-1, -8, 3) t = -1: (1, -5, 2) t = 0: (3, -2, 1) t = 1: (5, 1, 0) t = 2: (7, 4, -1) é:
Os pontos da reta para os valores de são:

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