Seja V o espaço das funções definidas de R sobre R. Para cada f, g in V a função f+g: R R é definida por (f+g)(x)=f(x)+g(x) para cada x in R. Se alpha in R, para cada f defina alpha cdot f: R R por (alpha cdot f)(x)=alpha f(x) para cada x in R. Com estas operações V é um espaço vetorial sobre R. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de V.
W4=f in V ; integral0^1 f(t) f(1-t) d t=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre um espaço vetorial que consiste em todas as funções de para . Queremos verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço e aplicar cada um deles passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar se integral0^1 f(t) f(1-t) , dt = integral0^1 0 cdot 0 , dt = 0 não está vazio. No mundo dos espaços vetoriais, o zero vetorial deve estar presente no subespaço. Aqui, o zero vetorial é a função que atribui zero para todo , ou seja, .
Vamos verificar:
Então, a função zero está em , o que satisfaz nosso primeiro critério.

Passo 3

Agora, vamos ver se integral0^1 (f + g)(t) (f + g)(1-t) , dt = integral0^1 [f(t) + g(t)][f(1-t) + g(1-t)] , dt é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções = integral0^1 [f(t)f(1-t) + f(t)g(1-t) + g(t)f(1-t) + g(t)g(1-t)] , dt e integral0^1 f(t)f(1-t) , dt = 0 e integral0^1 g(t)g(1-t) , dt = 0 em integral0^1 [f(t)g(1-t) + g(t)f(1-t)] , dt , a soma também deve estar em .
Vamos calcular:
Expandindo a expressão:
Sabemos que e estão em , então:
Mas ainda temos os termos cruzados:
Esses termos não necessariamente somam zero. Portanto, a soma pode não estar em , o que indica que não é fechado sob adição.

Passo 4

Mesmo que já tenhamos encontrado que integral0^1 (alpha f)(t) (alpha f)(1-t) , dt = alpha^2 integral0^1 f(t)f(1-t) , dt = alpha^2 cdot 0 = 0 não é um subespaço por não ser fechado sob adição, vamos verificar também o fechamento sob multiplicação escalar para completar a análise.
Seja e , então:
Então, também está em , o que significa que é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

Como não é fechado sob adição, ele não é um subespaço de .

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Sejam A=[cccc1 & 1 & 2 & 0 2 & -1 & -1 & 3 1 & -3 & -2 & 4] e B=[cccc1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0].
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Se W=(ccx & y z & w): x+y-z=0, determine uma base ortonormal para W .
Sejam A=[cccc1 & 1 & 2 & 0 2 & -1 & -1 & 3 1 & -3 & -2 & 4] e B=[cccc1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0].
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Achar a distância entre as retas r1 e r2, nos casos:
r1:lx=lambda+1 y=lambda+2 z=-2 lambda-2