Seja
o espaço das funções definidas de
sobre
. Para cada
a função
é definida por
para cada
. Se
, para cada
defina
por
para cada
. Com estas operações
é um espaço vetorial sobre
. Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre um espaço vetorial
que consiste em todas as funções de
para
. Queremos verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço e aplicar cada um deles passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar se
não está vazio. No mundo dos espaços vetoriais, o zero vetorial deve estar presente no subespaço. Aqui, o zero vetorial é a função que atribui zero para todo
, ou seja,
.
Vamos verificar:
Então, a função zero está em
, o que satisfaz nosso primeiro critério.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Vamos calcular:
Expandindo a expressão:
Sabemos que
e
estão em
, então:
Mas ainda temos os termos cruzados:
Esses termos não necessariamente somam zero. Portanto, a soma
pode não estar em
, o que indica que
não é fechado sob adição.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos encontrado que
não é um subespaço por não ser fechado sob adição, vamos verificar também o fechamento sob multiplicação escalar para completar a análise.
Seja
e
, então:
Então,
também está em
, o que significa que
é fechado sob multiplicação escalar.
Resposta
Como
não é fechado sob adição, ele não é um subespaço de
.