Seja o espaço das funções definidas de sobre . Para cada a função é definida por para cada . Se , para cada defina por para cada . Com estas operações é um espaço vetorial sobre . Verifique quais dos seguintes conjuntos são subespaços de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre um espaço vetorial que consiste em todas as funções de para . Queremos verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço e aplicar cada um deles passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar se não está vazio. No mundo dos espaços vetoriais, o zero vetorial deve estar presente no subespaço. Aqui, o zero vetorial é a função que atribui zero para todo , ou seja, .
Vamos verificar:
Então, a função zero está em , o que satisfaz nosso primeiro critério.
Passo 3
Agora, vamos ver se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções e em , a soma também deve estar em .
Vamos calcular:
Expandindo a expressão:
Sabemos que e estão em , então:
Mas ainda temos os termos cruzados:
Esses termos não necessariamente somam zero. Portanto, a soma pode não estar em , o que indica que não é fechado sob adição.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos encontrado que não é um subespaço por não ser fechado sob adição, vamos verificar também o fechamento sob multiplicação escalar para completar a análise.
Seja e , então:
Então, também está em , o que significa que é fechado sob multiplicação escalar.
Resposta
Como não é fechado sob adição, ele não é um subespaço de .