Se
, determine uma base ortonormal para W .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que temos um conjunto
de matrizes 2x2 onde
. Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal para
. Isso envolve entender conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, bases e ortonormalização. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o conjunto
. Uma matriz 2x2 tem a forma:
A condição
nos dá uma relação entre os elementos da matriz. Isso significa que nem todos os elementos são independentes. Vamos usar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos expressar uma matriz qualquer em
usando essa relação:
Aqui,
,
e
são livres, ou seja, podemos escolher qualquer valor para eles. Portanto, o subespaço
é tridimensional.
Passo 4
Para encontrar uma base para
, precisamos identificar matrizes que são linearmente independentes e que geram todo o espaço
. Vamos expressar a matriz em termos de
,
e
:
Assim, uma base para
é composta pelas matrizes:
Passo 5
Agora, queremos uma base ortonormal. Para isso, usamos o produto interno de Frobenius entre matrizes, definido por:
onde
é a soma dos elementos da diagonal principal.
Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base
.
Passo 6
Primeiro, normalizamos a primeira matriz da base
:
O comprimento de
é:
Então, a primeira base ortonormal é:
Passo 7
Agora, vamos ortogonalizar a segunda matriz
em relação a
:
Calculamos a projeção de
sobre
:
Subtraímos essa projeção de
:
Calculamos o comprimento de
e normalizamos para obter
.
Passo 8
Finalmente, fazemos o mesmo para a terceira matriz
:
Ortonormalizamos em relação a
e
, obtendo
.
Resposta
Uma base ortonormal para
é composta pelas matrizes: