Se W=(ccx & y z & w): x+y-z=0, determine uma base ortonormal para W .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que temos um conjunto de matrizes 2x2 onde . Nosso objetivo é encontrar uma base ortonormal para . Isso envolve entender conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, bases e ortonormalização. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o conjunto x & y z & w . Uma matriz 2x2 tem a forma:
z = x + y
A condição nos dá uma relação entre os elementos da matriz. Isso significa que nem todos os elementos são independentes. Vamos usar essa equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos isolar :

Passo 3

Agora, vamos expressar uma matriz qualquer em x & y x + y & w usando essa relação:
Aqui, , e são livres, ou seja, podemos escolher qualquer valor para eles. Portanto, o subespaço é tridimensional.

Passo 4

Para encontrar uma base para x & y x + y & w = x 1 & 0 1 & 0 + y 0 & 1 1 & 0 + w 0 & 0 0 & 1 , precisamos identificar matrizes que são linearmente independentes e que geram todo o espaço B = 1 & 0 1 & 0 , 0 & 1 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 . Vamos expressar a matriz em termos de , e :
Assim, uma base para é composta pelas matrizes:

Passo 5

Agora, queremos uma base ortonormal. Para isso, usamos o produto interno de Frobenius entre matrizes, definido por:
lang<= A, B rang<= = tr(A^T B)
onde é a soma dos elementos da diagonal principal.
Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base .

Passo 6

Primeiro, normalizamos a primeira matriz da base A1 = 1 & 0 1 & 0 :
|A1| = raizlang<= A1, A1 rang<= = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz2
O comprimento de E1 = 1raiz2 1 & 0 1 & 0 é:
Então, a primeira base ortonormal é:

Passo 7

Agora, vamos ortogonalizar a segunda matriz A2 = 0 & 1 1 & 0 em relação a projE1 A2 = lang<= A2, E1 rang<= E1 = (0 cdot 1raiz2 + 1 cdot 0 + 1 cdot 1raiz2 + 0 cdot 0) E1 = 1raiz2 E1 :
E2' = A2 - projE1 A2 = 0 & 1 1 & 0 - 1raiz2 1 & 0 1 & 0 = -1raiz2 & 1 1 - 1raiz2 & 0
Calculamos a projeção de sobre :
Subtraímos essa projeção de :
Calculamos o comprimento de e normalizamos para obter .

Passo 8

Finalmente, fazemos o mesmo para a terceira matriz A3 = 0 & 0 0 & 1 :
Ortonormalizamos em relação a e , obtendo .

Resposta

Uma base ortonormal para E1 = 1raiz2 1 & 0 1 & 0 , E2 = 1raiz2 -1 & raiz2 1 & 0 , E3 = 0 & 0 0 & 1 é composta pelas matrizes:

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W4=f in V ; integral0^1 f(t) f(1-t) d t=0