Sejam A=[cccc1 & 1 & 2 & 0 2 & -1 & -1 & 3 1 & -3 & -2 & 4] e B=[cccc1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0].
(a) Mostre que A é linha equivalente a B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equivalência de linhas entre as matrizes e . O que precisamos fazer aqui é transformar a matriz na matriz usando operações de linha. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre equivalência de matrizes e métodos de redução de linhas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes A = 1 & 1 & 2 & 0 2 & -1 & -1 & 3 1 & -3 & -2 & 4 , B = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 0 e para termos uma visão clara:

Passo 3

Vamos começar com a matriz e realizar operações de linha para chegar em . A ideia é usar operações elementares de linha: troca de linhas, multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero e adição de múltiplos de uma linha a outra.

Passo 4

Primeiro, garantimos que o primeiro elemento da primeira linha seja 1, o que já está correto em 1 & 1 & 2 & 0 2 - 2(1) & -1 - 2(1) & -1 - 2(2) & 3 - 2(0) 1 & -3 & -2 & 4 = 1 & 1 & 2 & 0 0 & -3 & -5 & 3 1 & -3 & -2 & 4 . Então, vamos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.
Calculamos :

[


]

Passo 5

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do 1 na primeira coluna. Calculamos 1 & 1 & 2 & 0 0 & -3 & -5 & 3 1 - 1 & -3 - 1 & -2 - 2 & 4 - 0 = 1 & 1 & 2 & 0 0 & -3 & -5 & 3 0 & -4 & -4 & 4 :

[


]

Passo 6

Vamos trabalhar com a segunda linha para tornar o segundo elemento L2' = -13 L2 = -13 times 0 & -3 & -5 & 3 = 0 & 1 & 53 & -1 em 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & 53 & -1 0 & -4 & -4 & 4 :
A matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, zeramos acima: 1 & 1 - 1 & 2 - 53 & 0 - (-1) 0 & 1 & 53 & -1 0 & -4 & -4 & 4 = 1 & 0 & 13 & 1 0 & 1 & 53 & -1 0 & -4 & -4 & 4 :

[


]

Passo 8

Agora, zeramos abaixo o 1 na segunda coluna: 1 & 0 & 13 & 1 0 & 1 & 53 & -1 0 & -4 + 4(1) & -4 + 4(53) & 4 + 4(-1) = 1 & 0 & 13 & 1 0 & 1 & 53 & -1 0 & 0 & 13 & 0 :

[


]

Passo 9

Finalmente, vamos tornar o terceiro elemento da terceira linha igual a 1, multiplicando a terceira linha por 3:
L3' = 3 times L3 = 3 times 0 & 0 & 13 & 0 = 0 & 0 & 1 & 0
A matriz fica:
1 & 0 & 13 & 1 0 & 1 & 53 & -1 0 & 0 & 1 & 0

Resposta

Após essas operações, a matriz foi transformada na matriz , mostrando que é linha equivalente a .

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