Expressar a equação 2 x^2+3 y^2-6 z=0 em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação 2x^2 + 3y^2 - 6z = 0 usando coordenadas esféricas. Primeiro, precisamos entender que vamos transformar as coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esféricas (rho, theta, phi). Isso vai nos ajudar a expressar a equação de uma forma diferente, que pode ser útil em diversos contextos, como em física ou engenharia.

Passo 2

Vamos começar lembrando as relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi
Aqui, rho é a distância do ponto à origem, theta é o ângulo no plano xy, e phi é o ângulo em relação ao eixo z.

Passo 3

Agora, vamos substituir x, y e z na equação original 2x^2 + 3y^2 - 6z = 0 pelas expressões em termos de rho, theta e phi que acabamos de lembrar:
2(rho sinphi costheta)^2 + 3(rho sinphi sintheta)^2 - 6(rho cosphi) = 0

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
2rho^2 sin^2phi cos^2theta + 3rho^2 sin^2phi sin^2theta - 6rho cosphi = 0
Note que rho^2 sin^2phi (cos^2theta + sin^2theta) simplifica para rho^2 sin^2phi porque cos^2theta + sin^2theta = 1.

Passo 5

Simplificando a equação:
2rho^2 sin^2phi + 3rho^2 sin^2phi - 6rho cosphi = 0
Somando os termos semelhantes:
5rho^2 sin^2phi - 6rho cosphi = 0

Passo 6

Podemos fatorar rho da equação:
rho (5rho sin^2phi - 6 cosphi) = 0
Isso nos dá duas soluções possíveis: rho = 0 ou 5rho sin^2phi - 6 cosphi = 0.

Passo 7

Ignorando a solução trivial rho = 0, vamos resolver 5rho sin^2phi - 6 cosphi = 0 para rho:
5rho sin^2phi = 6 cosphi
rho = 6 cosphi5 sin^2phi

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais a expressão dividindo o numerador e o denominador por sinphi:
rho = 6 cotphi5 sinphi
Onde cotphi = cosphisinphi.

Resposta

A equação 2x^2 + 3y^2 - 6z = 0 em coordenadas esféricas é dada por:
rho = 6 cosphi5 sin^2phi

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