Expressar a equação
em coordenadas esféricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação
usando coordenadas esféricas. Primeiro, precisamos entender que vamos transformar as coordenadas cartesianas
para coordenadas esféricas
. Isso vai nos ajudar a expressar a equação de uma forma diferente, que pode ser útil em diversos contextos, como em física ou engenharia.
Passo 2
Vamos começar lembrando as relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
Aqui,
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo no plano
, e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original
pelas expressões em termos de
,
e
que acabamos de lembrar:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
Note que
simplifica para
porque
.
Passo 5
Simplificando a equação:
Somando os termos semelhantes:
Passo 6
Podemos fatorar
da equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
ou
.
Passo 7
Ignorando a solução trivial
, vamos resolver
para
:
Passo 8
Podemos simplificar ainda mais a expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
Onde
.
Resposta
A equação
em coordenadas esféricas é dada por:
Exercícios relacionados
Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são:
.
Expressar a equação
em coordenadas retangulares.
Encontre a matriz associada a cada uma das seguintes formas quadráticas
Seja
um espaço vetorial de matrizes
. Considere a função
. Verifique que essa função é uma forma bilinear.