Expressar a equação em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação usando coordenadas esféricas. Primeiro, precisamos entender que vamos transformar as coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas . Isso vai nos ajudar a expressar a equação de uma forma diferente, que pode ser útil em diversos contextos, como em física ou engenharia.

Passo 2

Vamos começar lembrando as relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas. Em coordenadas esféricas, temos:
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo no plano , e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação original pelas expressões em termos de , e que acabamos de lembrar:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
Note que simplifica para porque .

Passo 5

Simplificando a equação:
Somando os termos semelhantes:

Passo 6

Podemos fatorar da equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis: ou .

Passo 7

Ignorando a solução trivial , vamos resolver para :

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais a expressão dividindo o numerador e o denominador por :
Onde .

Resposta

A equação em coordenadas esféricas é dada por:

Exercícios relacionados

Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são:
.
Expressar a equação em coordenadas retangulares.
Encontre a matriz associada a cada uma das seguintes formas quadráticas
Seja um espaço vetorial de matrizes . Considere a função . Verifique que essa função é uma forma bilinear.