Quais das seguintes estruturas (V, R, oplus, odot) são espaços vetoriais reais ( V representa um conjunto, oplus e odot representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
1.1 V=R^2 com as operações:
r (x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1+y1+1, x2+y2+1), alpha odot(x1, x2)=(alpha x1, alpha x2), alpha in R ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que envolve espaços vetoriais. O enunciado nos pede para verificar se a estrutura dada é um espaço vetorial real. Para isso, precisamos conferir se todas as axiomas dos espaços vetoriais estão sendo satisfeitas pelas operações de adição ( oplus) e multiplicação por escalar ( odot) definidas. Se algum axioma não for cumprido, vamos identificar qual.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os reais R é um conjunto V junto com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, que satisfazem oito axiomas básicos. Vamos listar esses axiomas para ter uma referência:
  1. Comutatividade da adição: Para todo u, v in V, u oplus v = v oplus u.
  2. Associatividade da adição: Para todo u, v, w in V, (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w).
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor 0 in V tal que v oplus 0 = v para todo v in V.
  4. Elemento inverso da adição: Para todo v in V, existe um vetor -v in V tal que v oplus (-v) = 0.
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: Para todo alpha, beta in R e todo v in V, (alpha beta) odot v = alpha odot (beta odot v).
  6. Identidade da multiplicação por escalar: Para todo v in V, 1 odot v = v.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para todo alpha in R e todo u, v in V, alpha odot (u oplus v) = (alpha odot u) oplus (alpha odot v).
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para todo alpha, beta in R e todo v in V, (alpha + beta) odot v = (alpha odot v) oplus (beta odot v).
Nosso objetivo é verificar cada um desses axiomas para a estrutura dada.

Passo 3

Vamos começar verificando o axioma da comutatividade da adição. Temos que para quaisquer dois vetores (x1, x2) e (y1, y2) em V = R^2, a operação de adição é definida como:
(x1, x2) oplus (y1, y2) = (x1 + y1 + 1, x2 + y2 + 1)
Vamos testar se (x1, x2) oplus (y1, y2) = (y1, y2) oplus (x1, x2).
Calculando os dois lados:
(x1, x2) oplus (y1, y2) = (x1 + y1 + 1, x2 + y2 + 1)
(y1, y2) oplus (x1, x2) = (y1 + x1 + 1, y2 + x2 + 1)
Como a soma de números reais é comutativa ( x1 + y1 = y1 + x1 e x2 + y2 = y2 + x2), temos:
(x1 + y1 + 1, x2 + y2 + 1) = (y1 + x1 + 1, y2 + x2 + 1)
Portanto, a comutatividade da adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a associatividade da adição. Precisamos checar se, para quaisquer três vetores (x1, x2), (y1, y2) e (z1, z2) em V, a seguinte igualdade vale:
[(x1, x2) oplus (y1, y2)] oplus (z1, z2) = (x1, x2) oplus [(y1, y2) oplus (z1, z2)]
Vamos calcular cada lado separadamente.
Primeiro, o lado esquerdo:
[(x1, x2) oplus (y1, y2)] oplus (z1, z2) = (x1 + y1 + 1, x2 + y2 + 1) oplus (z1, z2)
Aplicando a operação de adição novamente:
= ( (x1 + y1 + 1) + z1 + 1, (x2 + y2 + 1) + z2 + 1 )
= (x1 + y1 + z1 + 2, x2 + y2 + z2 + 2)
Agora, o lado direito:
(x1, x2) oplus [(y1, y2) oplus (z1, z2)] = (x1, x2) oplus (y1 + z1 + 1, y2 + z2 + 1)
Aplicando a operação de adição:
= (x1 + (y1 + z1 + 1) + 1, x2 + (y2 + z2 + 1) + 1)
= (x1 + y1 + z1 + 2, x2 + y2 + z2 + 2)
Como os dois lados são iguais, a associatividade da adição está satisfeita.

Passo 5

Vamos agora verificar o axioma do elemento neutro da adição. Esse axioma diz que deve existir um vetor 0 in V tal que, para todo vetor (x1, x2) in V, temos:
(x1, x2) oplus 0 = (x1, x2)
Vamos procurar esse vetor 0 = (a, b). Aplicando a operação de adição:
(x1, x2) oplus (a, b) = (x1 + a + 1, x2 + b + 1) = (x1, x2)
Isso gera o sistema de equações:
x1 + a + 1 = x1 x2 + b + 1 = x2
Resolvendo cada equação:
  1. x1 + a + 1 = x1 Rightarrow a + 1 = 0 Rightarrow a = -1
  2. x2 + b + 1 = x2 Rightarrow b + 1 = 0 Rightarrow b = -1
Portanto, o vetor neutro seria 0 = (-1, -1).
Vamos testar se isso realmente funciona:
(x1, x2) oplus (-1, -1) = (x1 + (-1) + 1, x2 + (-1) + 1) = (x1, x2)
Funcionou! Então, o axioma do elemento neutro da adição está satisfeita com 0 = (-1, -1).

Passo 6

Agora, vamos conferir o axioma do elemento inverso da adição. Esse axioma afirma que para cada vetor (x1, x2) in V, deve existir um vetor -v in V tal que:
(x1, x2) oplus (-x1, -x2) = 0
No nosso caso, já identificamos que o vetor neutro é 0 = (-1, -1). Portanto, precisamos encontrar um vetor (-x1, -x2) tal que:
(x1, x2) oplus (-x1, -x2) = (-1, -1)
Aplicando a operação de adição:
(x1 + (-x1) + 1, x2 + (-x2) + 1) = (1, 1)
Mas o vetor neutro é (-1, -1), então:
(1, 1) neq (-1, -1)
Isso significa que não existe um vetor inverso que satisfaça o axioma, já que a soma não resulta no vetor neutro. Portanto, o axioma do elemento inverso da adição não está satisfeito.

Passo 7

Apesar de já termos identificado que o axioma do elemento inverso não é satisfeito, vamos continuar verificando os demais axiomas para termos uma visão completa.
Axioma da compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
Para todo alpha, beta in R e todo (x1, x2) in V, deve valer:
(alpha beta) odot (x1, x2) = alpha odot (beta odot (x1, x2))
Vamos calcular ambos os lados:
Lado esquerdo:
(alpha beta) odot (x1, x2) = (alpha beta x1, alpha beta x2)
Lado direito:
alpha odot (beta odot (x1, x2)) = alpha odot (beta x1, beta x2) = (alpha beta x1, alpha beta x2)
Como os dois lados são iguais, esse axioma está satisfeito.
Axioma da identidade da multiplicação por escalar:
Para todo (x1, x2) in V, deve valer:
1 odot (x1, x2) = (x1, x2)
Calculando:
1 odot (x1, x2) = (1 cdot x1, 1 cdot x2) = (x1, x2)
Portanto, o axioma da identidade da multiplicação por escalar está satisfeito.
Axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para todo alpha in R e todos u, v in V, deve valer:
alpha odot (u oplus v) = (alpha odot u) oplus (alpha odot v)
Vamos testar com u = (x1, x2) e v = (y1, y2):
Lado esquerdo:
alpha odot [(x1, x2) oplus (y1, y2)] = alpha odot (x1 + y1 + 1, x2 + y2 + 1) = (alpha(x1 + y1 + 1), alpha(x2 + y2 + 1))
= (alpha x1 + alpha y1 + alpha, alpha x2 + alpha y2 + alpha)
Lado direito:
(alpha odot (x1, x2)) oplus (alpha odot (y1, y2)) = (alpha x1, alpha x2) oplus (alpha y1, alpha y2) = (alpha x1 + alpha y1 + 1, alpha x2 + alpha y2 + 1)
Comparando os dois lados:
(alpha x1 + alpha y1 + alpha, alpha x2 + alpha y2 + alpha) neq (alpha x1 + alpha y1 + 1, alpha x2 + alpha y2 + 1)
A menos que alpha = 1, o resultado não é igual. Portanto, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores não está satisfeita.
Axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para todos alpha, beta in R e todo v in V, deve valer:
(alpha + beta) odot v = (alpha odot v) oplus (beta odot v)
Vamos testar com v = (x1, x2):
Lado esquerdo:
(alpha + beta) odot (x1, x2) = ((alpha + beta) x1, (alpha + beta) x2)
Lado direito:
(alpha odot (x1, x2)) oplus (beta odot (x1, x2)) = (alpha x1, alpha x2) oplus (beta x1, beta x2) = (alpha x1 + beta x1 + 1, alpha x2 + beta x2 + 1)
= ((alpha + beta) x1 + 1, (alpha + beta) x2 + 1)
Novamente, a menos que 1 = 0, o que não é verdade, os dois lados não são iguais. Portanto, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não está satisfeita.

Resposta

A estrutura dada não é um espaço vetorial real porque não satisfaz o axioma do elemento inverso da adição e nem os axiomas de distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e de escalares.

Exercícios relacionados