Quais das seguintes estruturas são espaços vetoriais reais ( representa um conjunto, e representam as operações de adição e multiplicação por escalares, respectivamente). Se não forem espaços vetoriais reais, indicar quais dos axiomas não se cumprem.
com as operações:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que envolve espaços vetoriais. O enunciado nos pede para verificar se a estrutura dada é um espaço vetorial real. Para isso, precisamos conferir se todas as axiomas dos espaços vetoriais estão sendo satisfeitas pelas operações de adição ( ) e multiplicação por escalar ( ) definidas. Se algum axioma não for cumprido, vamos identificar qual.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os reais é um conjunto junto com duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar, que satisfazem oito axiomas básicos. Vamos listar esses axiomas para ter uma referência:
  1. Comutatividade da adição: Para todo , .
  2. Associatividade da adição: Para todo , .
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que para todo .
  4. Elemento inverso da adição: Para todo , existe um vetor tal que .
  5. Compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares: Para todo e todo , .
  6. Identidade da multiplicação por escalar: Para todo , .
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: Para todo e todo , .
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: Para todo e todo , .
Nosso objetivo é verificar cada um desses axiomas para a estrutura dada.

Passo 3

Vamos começar verificando o axioma da comutatividade da adição. Temos que para quaisquer dois vetores e em , a operação de adição é definida como:
Vamos testar se .
Calculando os dois lados:
Como a soma de números reais é comutativa ( e ), temos:
Portanto, a comutatividade da adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a associatividade da adição. Precisamos checar se, para quaisquer três vetores , e em , a seguinte igualdade vale:
Vamos calcular cada lado separadamente.
Primeiro, o lado esquerdo:
Aplicando a operação de adição novamente:
Agora, o lado direito:
Aplicando a operação de adição:
Como os dois lados são iguais, a associatividade da adição está satisfeita.

Passo 5

Vamos agora verificar o axioma do elemento neutro da adição. Esse axioma diz que deve existir um vetor tal que, para todo vetor , temos:
Vamos procurar esse vetor . Aplicando a operação de adição:
Isso gera o sistema de equações:
Resolvendo cada equação:
Portanto, o vetor neutro seria .
Vamos testar se isso realmente funciona:
Funcionou! Então, o axioma do elemento neutro da adição está satisfeita com .

Passo 6

Agora, vamos conferir o axioma do elemento inverso da adição. Esse axioma afirma que para cada vetor , deve existir um vetor tal que:
No nosso caso, já identificamos que o vetor neutro é . Portanto, precisamos encontrar um vetor tal que:
Aplicando a operação de adição:
Mas o vetor neutro é , então:
Isso significa que não existe um vetor inverso que satisfaça o axioma, já que a soma não resulta no vetor neutro. Portanto, o axioma do elemento inverso da adição não está satisfeito.

Passo 7

Apesar de já termos identificado que o axioma do elemento inverso não é satisfeito, vamos continuar verificando os demais axiomas para termos uma visão completa.
Axioma da compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares:
Para todo e todo , deve valer:
Vamos calcular ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como os dois lados são iguais, esse axioma está satisfeito.
Axioma da identidade da multiplicação por escalar:
Para todo , deve valer:
Calculando:
Portanto, o axioma da identidade da multiplicação por escalar está satisfeito.
Axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
Para todo e todos , deve valer:
Vamos testar com e :
Lado esquerdo:
Lado direito:
Comparando os dois lados:
A menos que , o resultado não é igual. Portanto, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores não está satisfeita.
Axioma da distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
Para todos e todo , deve valer:
Vamos testar com :
Lado esquerdo:
Lado direito:
Novamente, a menos que , o que não é verdade, os dois lados não são iguais. Portanto, a distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não está satisfeita.

Resposta

A estrutura dada não é um espaço vetorial real porque não satisfaz o axioma do elemento inverso da adição e nem os axiomas de distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e de escalares.

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(a) .
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