Seja
. Se um conjunto
é tal que
e, além disso,
, então
contém todos os números naturais
.
Passo 1
Vamos analisar o que a questão está nos pedindo. Temos um número natural
e um conjunto
que satisfaz duas condições:
-
pertence a ( ). - Se um número
está em , então o próximo número também está em ( ).
O objetivo é mostrar que, com essas condições, o conjunto
contém todos os números naturais que são iguais ou maiores que
. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que nos ajuda a provar afirmações válidas para todos os números naturais a partir de uma base inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a base da indução. Sabemos que
, ou seja, o número inicial
está no conjunto
. Isso é como afirmar que a primeira peça do quebra-cabeça está no lugar.
Passo 3
Agora, consideramos a hipótese de indução. Suponha que algum número
esteja em
. A segunda condição nos diz que se
está em
, então
também deve estar em
.
Passo 4
Aplicando a hipótese, como
, então
. Isso significa que, se um número está no conjunto, o próximo número natural também está. Assim, partindo de
, podemos continuar adicionando 1 indefinidamente e garantindo que todos esses números estarão em
.
Resposta
Portanto, pelo princípio da indução matemática, o conjunto
contém todos os números naturais maiores ou iguais a
.