Seja v in N. Se um conjunto F é tal que v in F e, além disso, m in F Rightarrow m+1 in F, então F contém todos os números naturais >= v.

Passo 1

Vamos analisar o que a questão está nos pedindo. Temos um número natural e um conjunto que satisfaz duas condições:
  1. pertence a ( ).
  2. Se um número está em , então o próximo número também está em ( ).
O objetivo é mostrar que, com essas condições, o conjunto contém todos os números naturais que são iguais ou maiores que . Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que nos ajuda a provar afirmações válidas para todos os números naturais a partir de uma base inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a base da indução. Sabemos que , ou seja, o número inicial está no conjunto . Isso é como afirmar que a primeira peça do quebra-cabeça está no lugar.

Passo 3

Agora, consideramos a hipótese de indução. Suponha que algum número esteja em . A segunda condição nos diz que se está em , então também deve estar em .

Passo 4

Aplicando a hipótese, como , então . Isso significa que, se um número está no conjunto, o próximo número natural também está. Assim, partindo de , podemos continuar adicionando 1 indefinidamente e garantindo que todos esses números estarão em .

Resposta

Portanto, pelo princípio da indução matemática, o conjunto contém todos os números naturais maiores ou iguais a .

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