Seja f: A B uma função injetiva. Prove que se B for finito então A também é finito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma função que é injetiva. Nosso objetivo é provar que, se o conjunto for finito, então o conjunto também precisa ser finito. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetiva e o que é um conjunto finito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetiva. Uma função é injetiva se, sempre que , então . Isso significa que elementos diferentes de são mapeados para elementos diferentes de .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa um conjunto ser finito. Um conjunto é finito se ele tem um número limitado de elementos. Por exemplo, o conjunto é finito se existe um número natural tal que tem exatamente elementos.

Passo 4

Como a função é injetiva e é finito, cada elemento de mapeia para um elemento único em . Isso significa que não pode haver mais elementos em do que em , porque cada um teria que se ligar a um único elemento em .

Passo 5

Vamos supor, para pensar melhor, que tem elementos. Como é injetiva, não pode ter mais de elementos, caso contrário, teria que repetir algum mapeamento, o que violaria a injetividade.

Passo 6

Portanto, como é finito e é injetiva, não pode ter “mais” elementos que . Isso implica que também deve ser finito, já que não pode ter elementos infinitos se é finito.

Resposta

Assim, provamos que se é uma função injetiva e é finito, então também é finito.

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