Seja
uma função injetiva. Prove que se
for finito então
também é finito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma função
que é injetiva. Nosso objetivo é provar que, se o conjunto
for finito, então o conjunto
também precisa ser finito. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetiva e o que é um conjunto finito.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função injetiva. Uma função
é injetiva se, sempre que
, então
. Isso significa que elementos diferentes de
são mapeados para elementos diferentes de
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa um conjunto ser finito. Um conjunto é finito se ele tem um número limitado de elementos. Por exemplo, o conjunto
é finito se existe um número natural
tal que
tem exatamente
elementos.
Passo 4
Como a função
é injetiva e
é finito, cada elemento de
mapeia para um elemento único em
. Isso significa que não pode haver mais elementos em
do que em
, porque cada um teria que se ligar a um único elemento em
.
Passo 5
Vamos supor, para pensar melhor, que
tem
elementos. Como
é injetiva,
não pode ter mais de
elementos, caso contrário, teria que repetir algum mapeamento, o que violaria a injetividade.
Passo 6
Portanto, como
é finito e
é injetiva,
não pode ter “mais” elementos que
. Isso implica que
também deve ser finito, já que não pode ter elementos infinitos se
é finito.
Resposta
Assim, provamos que se
é uma função injetiva e
é finito, então
também é finito.