Utilize indução para demonstrar que as seguintes igualdades são verdadeiras para todo
:
;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar, usando o método de indução matemática, que para todo número natural
, a soma da série
é igual a
. Para isso, vamos precisar conhecer o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, quando
. Substituindo na soma:
E o lado direito da igualdade:
Ambos são iguais, então a base da indução é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum
. Isso significa que:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos provar que, se a hipótese de indução for verdadeira para
, então ela também será para
. Vamos considerar a soma para
:
Usando a hipótese de indução, sabemos que a soma até
é
. Então podemos escrever:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando
por
:
Perceba que
, então temos:
Passo 6
Portanto, mostramos que se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
. Como já verificamos que é verdadeira para
e que a validade para
implica para
, por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo
.
Resposta
A afirmação está comprovada por indução matemática: para todo
,