Utilize indução para demonstrar que as seguintes igualdades são verdadeiras para todo m in N : 11 cdot 2+12 cdot 3+13 cdot 4+cdots+1m cdot(m+1)=mm+1;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar, usando o método de indução matemática, que para todo número natural , a soma da série é igual a . Para isso, vamos precisar conhecer o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, quando 11 cdot 2 = 12 . Substituindo na soma:
11 + 1 = 12
E o lado direito da igualdade:
Ambos são iguais, então a base da indução é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum 11 cdot 2 + 12 cdot 3 + cdots + 1k cdot (k+1) = kk+1 . Isso significa que:
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos provar que, se a hipótese de indução for verdadeira para 11 cdot 2 + 12 cdot 3 + cdots + 1k cdot (k+1) + 1(k+1) cdot (k+2) , então ela também será para kk+1 + 1(k+1) cdot (k+2) . Vamos considerar a soma para :
Usando a hipótese de indução, sabemos que a soma até é . Então podemos escrever:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
kk+1 + 1(k+1)(k+2) = k(k+2) + 1(k+1)(k+2)
Multiplicando k^2 + 2k + 1(k+1)(k+2) por (k + 1)^2(k+1)(k+2) = k + 1k + 2 :
Perceba que , então temos:

Passo 6

Portanto, mostramos que se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para . Como já verificamos que é verdadeira para e que a validade para implica para , por indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo .

Resposta

A afirmação está comprovada por indução matemática: para todo 11 cdot 2+12 cdot 3+13 cdot 4+cdots+1m cdot(m+1)=mm+1 ,

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