Utilize o princípio da indução para demonstrar
(1+x+cdots+x^m)(x-1)=x^m+1-1
seja quais forem x, m in N.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de indução matemática. O enunciado pede para demonstrar que, para quaisquer números naturais (1 + x + cdots + x^m)(x - 1) = x^m+1 - 1 e , a expressão
é válida. Para isso, usaremos o princípio da indução, que é uma técnica para provar afirmações que dependem de um número natural .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o princípio da indução. Ele consiste em dois passos principais:
  1. Base da Indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor de , geralmente ou .
  2. Passo Indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para um valor arbitrário e, então, mostramos que ela também é verdadeira para .
Vamos começar aplicando esses passos ao nosso problema.

Passo 3

Base da Indução: Vamos verificar se a igualdade é verdadeira para (1 + x^0)(x - 1) = (1 + 1)(x - 1) = 2(x - 1) .
Substituindo x^0+1 - 1 = x^1 - 1 = x - 1 na expressão:
(1 + x^1)(x - 1) = (1 + x)(x - 1) = x^2 - 1
E do outro lado da igualdade:
x^1+1 - 1 = x^2 - 1
Vemos que não é igual a a menos que . Portanto, a base da indução falha para .
Vamos tentar com , pois para a igualdade não se sustenta geralmente.
Substituindo :
E do outro lado:
Aqui, , o que confirma que a base da indução é verdadeira para .

Passo 4

Passo Indutivo: Agora, assumimos que a igualdade é verdadeira para algum (1 + x + cdots + x^k)(x - 1) = x^k+1 - 1 , ou seja:
(1 + x + cdots + x^k + x^k+1)(x - 1)
Essa é a nossa hipótese de indução. Precisamos mostrar que, com essa suposição, a igualdade também vale para [(1 + x + cdots + x^k) + x^k+1](x - 1) .
Vamos considerar a expressão para (1 + x + cdots + x^k)(x - 1) + x^k+1(x - 1) :
(1 + x + cdots + x^k)(x - 1) = x^k+1 - 1
Podemos reescrever essa expressão da seguinte forma:
x^k+1 - 1 + x^k+1(x - 1)
Distribuindo o x^k+1 - 1 + x^k+2 - x^k+1 :
x^k+2 - 1
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Substituindo na expressão anterior:
Expandindo o segundo termo:
Simplificando:
Isso mostra que a igualdade vale para .

Resposta

Portanto, pelo princípio da indução matemática, a igualdade
(1 + x + cdots + x^m)(x - 1) = x^m+1 - 1
é válida para todos os números naturais e .

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