Utilize o princípio da indução para demonstrar
seja quais forem
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de indução matemática. O enunciado pede para demonstrar que, para quaisquer números naturais
e
, a expressão
é válida. Para isso, usaremos o princípio da indução, que é uma técnica para provar afirmações que dependem de um número natural
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o princípio da indução. Ele consiste em dois passos principais:
- Base da Indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro valor de
, geralmente ou . - Passo Indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para um valor arbitrário
e, então, mostramos que ela também é verdadeira para .
Vamos começar aplicando esses passos ao nosso problema.
Passo 3
Base da Indução: Vamos verificar se a igualdade é verdadeira para
.
Substituindo
na expressão:
E do outro lado da igualdade:
Vemos que
não é igual a
a menos que
. Portanto, a base da indução falha para
.
Vamos tentar com
, pois para
a igualdade não se sustenta geralmente.
Substituindo
:
E do outro lado:
Aqui,
, o que confirma que a base da indução é verdadeira para
.
Passo 4
Passo Indutivo: Agora, assumimos que a igualdade é verdadeira para algum
, ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução. Precisamos mostrar que, com essa suposição, a igualdade também vale para
.
Vamos considerar a expressão para
:
Podemos reescrever essa expressão da seguinte forma:
Distribuindo o
:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Substituindo na expressão anterior:
Expandindo o segundo termo:
Simplificando:
Isso mostra que a igualdade vale para
.
Resposta
Portanto, pelo princípio da indução matemática, a igualdade
é válida para todos os números naturais
e
.