Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes: A=[rrr1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular os valores próprios e os vetores próprios da matriz A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1. A gente vai precisar usar alguns conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares, para encontrar esses valores e vetores. Vamos por partes para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz A. Valores próprios são números lambda que satisfazem a equação característica da matriz, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade do mesmo tamanho de A.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 1 & 1 - lambda & -2 0 & 1 & -1 - lambda
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero.

Passo 4

Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det1 - lambda & -2 1 & -1 - lambda - 0 + 0
Simplificando:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot [(1 - lambda)(-1 - lambda) - (-2)(1)]
Vamos multiplicar os termos:
= (1 - lambda) cdot [-(1 - lambda)(1 + lambda) + 2]
= (1 - lambda) cdot [-(1 - lambda^2) + 2]
= (1 - lambda) cdot [ -1 + lambda^2 + 2 ]
= (1 - lambda) cdot (lambda^2 + 1)

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
(1 - lambda)(lambda^2 + 1) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. 1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
  2. lambda^2 + 1 = 0 Rightarrow lambda^2 = -1 Rightarrow lambda = i ou lambda = -i
Como estamos trabalhando com números reais, vamos considerar apenas lambda = 1. (Se considerarmos números complexos, também temos i e -i como valores próprios.)

Passo 6

Agora que temos o valor próprio lambda = 1, vamos encontrar o vetor próprio correspondente. Para isso, resolvemos o sistema:
(A - lambda I) v = 0
Substituindo lambda = 1:
0 & 0 & 0 1 & 0 & -2 0 & 1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0
Isso nos dá o sistema de equações:
  1. 0v1 + 0v2 + 0v3 = 0
  2. v1 + 0v2 - 2v3 = 0
  3. 0v1 + v2 - 2v3 = 0

Passo 7

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação:
v1 - 2v3 = 0 Rightarrow v1 = 2v3
Da terceira equação:
v2 - 2v3 = 0 Rightarrow v2 = 2v3
Podemos escolher v3 livremente. Vamos deixar v3 = t, onde t é um parâmetro real.
Então:
v1 = 2t v2 = 2t v3 = t
Podemos escrever o vetor próprio como:
v = t 2 2 1
Normalizando, podemos escolher t = 1, então o vetor próprio é:
v = 2 2 1

Resposta

O valor próprio é lambda = 1 e o vetor próprio correspondente é 2 2 1.

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