Suponha que S=v1, v2, ldots, v3 seja L.I., mas v1, v2, ldots, vn, w seja L.D. Mostre que w é combinação linear dos vetores de S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre conjuntos de vetores e como eles se relacionam entre si em termos de independência linear. Temos um conjunto que é linearmente independente (L.I.), mas quando adicionamos o vetor a esse conjunto, ele passa a ser linearmente dependente (L.D.). Nosso objetivo é mostrar que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do mesmo conjunto. Em outras palavras, a única solução para a equação é quando todos os coeficientes são iguais a zero.

Passo 3

Agora, quando adicionamos o vetor c1v1 + c2v2 + ldots + cnvn + cn+1w = 0 ao conjunto e ele passa a ser linearmente dependente, isso significa que existe uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor nulo, mas dessa vez, pelo menos um dos coeficientes não é zero. Matemáticamente, podemos escrever:
onde nem todos os são zero.

Passo 4

Como o conjunto cn+1w = 0 original é linearmente independente, sabemos que os coeficientes devem ser zero. Portanto, a equação acima simplifica para:
Para que essa igualdade seja verdadeira e não trivial (ou seja, ), precisamos ter que pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de .

Passo 5

Então, rearranjando a equação w = ( -c1cn+1 )v1 + ( -c2cn+1 )v2 + ldots + ( -cncn+1 )vn , e assumindo que , podemos dividir ambos os lados por para isolar :
Isso mostra que é uma combinação linear dos vetores de .

Resposta

O vetor é uma combinação linear dos vetores do conjunto .

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