Suponha que
seja L.I., mas
seja L.D. Mostre que
é combinação linear dos vetores de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre conjuntos de vetores e como eles se relacionam entre si em termos de independência linear. Temos um conjunto
que é linearmente independente (L.I.), mas quando adicionamos o vetor
a esse conjunto, ele passa a ser linearmente dependente (L.D.). Nosso objetivo é mostrar que o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores do mesmo conjunto. Em outras palavras, a única solução para a equação
é quando todos os coeficientes
são iguais a zero.
Passo 3
Agora, quando adicionamos o vetor
ao conjunto
e ele passa a ser linearmente dependente, isso significa que existe uma combinação linear dos vetores
que resulta no vetor nulo, mas dessa vez, pelo menos um dos coeficientes não é zero. Matemáticamente, podemos escrever:
onde nem todos os
são zero.
Passo 4
Como o conjunto
original é linearmente independente, sabemos que os coeficientes
devem ser zero. Portanto, a equação acima simplifica para:
Para que essa igualdade seja verdadeira e não trivial (ou seja,
), precisamos ter que
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de
.
Passo 5
Então, rearranjando a equação
, e assumindo que
, podemos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Isso mostra que
é uma combinação linear dos vetores de
.
Resposta
O vetor
é uma combinação linear dos vetores do conjunto
.