Seja
uma matriz real de ordem
com
autovalores distintos. Seja
uma matriz que comuta com
, onde
representa a matriz identidade de ordem
. Considere as seguintes afirmações:
(I)
tem os mesmos autovalores de
(I)
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz
de tamanho
que tem
autovalores diferentes. Tem também uma outra matriz
que não é a identidade
e que comuta com
(ou seja,
). A questão propõe a afirmação de que
tem os mesmos autovalores que
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre autovalores e matrizes que comutam, para verificar se essa afirmação é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz
tem
autovalores distintos, isso significa que ela é diagonalizável. Ou seja, podemos escrever
, onde
é uma matriz diagonal com os autovalores de
e
é a matriz de autovetores.
Passo 3
Agora, como
comuta com
(
), e
é diagonalizável, então
também deve ser diagonalizada na mesma base de autovetores de
. Isso significa que
pode ser escrita como
, onde
é uma matriz diagonal.
Passo 4
As entradas da matriz diagonal
são os autovalores de
. Porém, não há uma relação obrigatória que force esses autovalores a serem iguais aos de
. O que sabemos é que
compartilha a mesma base de autovetores que
, mas os valores nas diagonais podem ser diferentes.
Passo 5
Por exemplo, se
tiver autovalores
, a matriz
pode ter autovalores
, que não necessariamente são iguais a
. A única restrição é que as matrizes compartilhem os mesmos autovetores.
Resposta
A afirmação (I) é falsa. A matriz
que comuta com
não precisa necessariamente ter os mesmos autovalores que
.