Seja A uma matriz real de ordem n > 1 com n autovalores distintos. Seja B != I_n uma matriz que comuta com A, onde In representa a matriz identidade de ordem n. Considere as seguintes afirmações:
(I) B tem os mesmos autovalores de A

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz de tamanho que tem autovalores diferentes. Tem também uma outra matriz que não é a identidade e que comuta com (ou seja, ). A questão propõe a afirmação de que tem os mesmos autovalores que . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre autovalores e matrizes que comutam, para verificar se essa afirmação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma matriz tem autovalores distintos, isso significa que ela é diagonalizável. Ou seja, podemos escrever , onde é uma matriz diagonal com os autovalores de e é a matriz de autovetores.

Passo 3

Agora, como comuta com ( ), e é diagonalizável, então também deve ser diagonalizada na mesma base de autovetores de . Isso significa que pode ser escrita como , onde é uma matriz diagonal.

Passo 4

As entradas da matriz diagonal são os autovalores de . Porém, não há uma relação obrigatória que force esses autovalores a serem iguais aos de . O que sabemos é que compartilha a mesma base de autovetores que , mas os valores nas diagonais podem ser diferentes.

Passo 5

Por exemplo, se tiver autovalores , a matriz pode ter autovalores , que não necessariamente são iguais a . A única restrição é que as matrizes compartilhem os mesmos autovetores.

Resposta

A afirmação (I) é falsa. A matriz que comuta com não precisa necessariamente ter os mesmos autovalores que .

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