Seja X uma variável aleatória contínua tal que X sim N(10 ; 36). Calcule as seguintes probabilidades:
e) P(5 <= X <= 17).

Passo 1

Vamos resolver uma questão que envolve distribuições normais. Temos uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal com média 10 e variância 36, ou seja, . Precisamos calcular a probabilidade de estar entre 5 e 17, representada por . Para isso, vamos utilizar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e ao cálculo de probabilidades usando a transformação para o escore z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Uma distribuição normal é caracterizada por sua média ( ) e desvio padrão ( ). No nosso caso, a média é 10 e a variância é 36, o que significa que o desvio padrão é . A distribuição normal é simétrica em torno da média e é usada para modelar diversos fenômenos naturais.

Passo 3

Para calcular a probabilidade z = X - musigma , precisamos transformar os valores de z1 = 5 - 106 = -56 approx -0,8333 em escores z, que padronizam a variável. A fórmula para calcular o escore z é:
z2 = 17 - 106 = 76 approx 1,1667
Aplicando essa fórmula:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, usamos os escores z para encontrar as probabilidades correspondentes na tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora de funções de distribuição acumulada. A probabilidade equivale a .

Passo 5

Consultando a tabela ou usando uma calculadora:
P(z <= 1,1667) approx 0,8783
P(z <= -0,8333) approx 0,2023
Então, a probabilidade desejada é:
P(5 <= X <= 17) = P(z <= 1,1667) - P(z <= -0,8333) approx 0,8783 - 0,2023 = 0,6760

Resposta

A probabilidade de estar entre 5 e 17 é aproximadamente 67,60%.

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