Seja uma variável aleatória contínua tal que . Calcule as seguintes probabilidades:
e) .

Passo 1

Vamos resolver uma questão que envolve distribuições normais. Temos uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal com média 10 e variância 36, ou seja, . Precisamos calcular a probabilidade de estar entre 5 e 17, representada por . Para isso, vamos utilizar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e ao cálculo de probabilidades usando a transformação para o escore z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Uma distribuição normal é caracterizada por sua média ( ) e desvio padrão ( ). No nosso caso, a média é 10 e a variância é 36, o que significa que o desvio padrão é . A distribuição normal é simétrica em torno da média e é usada para modelar diversos fenômenos naturais.

Passo 3

Para calcular a probabilidade , precisamos transformar os valores de em escores z, que padronizam a variável. A fórmula para calcular o escore z é:
Aplicando essa fórmula:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, usamos os escores z para encontrar as probabilidades correspondentes na tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora de funções de distribuição acumulada. A probabilidade equivale a .

Passo 5

Consultando a tabela ou usando uma calculadora:
Então, a probabilidade desejada é:

Resposta

A probabilidade de estar entre 5 e 17 é aproximadamente 67,60%.

Exercícios relacionados

Seja uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre em cada uma das situações a seguir.
e) A área à esquerda de é 0,2119 .
Seja uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre em cada uma das situações a seguir.
d) A área à esquerda de é 0,67 .
Seja uma variável aleatória contínua tal que . Calcule as seguintes probabilidades:
f) .
Os depósitos efetuados em um certo banco durante o mês de janeiro são distribuídos normalmente, com média de e desvio padrão . Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. Calcule a probabilidade de que o depósito seja
b) pelo menos .