Seja
uma variável aleatória contínua tal que
. Calcule as seguintes probabilidades:
e)
.
e)
Passo 1
Vamos resolver uma questão que envolve distribuições normais. Temos uma variável aleatória contínua
que segue uma distribuição normal com média 10 e variância 36, ou seja,
. Precisamos calcular a probabilidade de
estar entre 5 e 17, representada por
. Para isso, vamos utilizar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e ao cálculo de probabilidades usando a transformação para o escore z.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Uma distribuição normal é caracterizada por sua média (
) e desvio padrão (
). No nosso caso, a média é 10 e a variância é 36, o que significa que o desvio padrão é
. A distribuição normal é simétrica em torno da média e é usada para modelar diversos fenômenos naturais.
Passo 3
Para calcular a probabilidade
, precisamos transformar os valores de
em escores z, que padronizam a variável. A fórmula para calcular o escore z é:
Aplicando essa fórmula:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, usamos os escores z para encontrar as probabilidades correspondentes na tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora de funções de distribuição acumulada. A probabilidade
equivale a
.
Passo 5
Consultando a tabela ou usando uma calculadora:
Então, a probabilidade desejada é:
Resposta
A probabilidade de
estar entre 5 e 17 é aproximadamente 67,60%.