Seja
uma variável aleatória contínua tal que
. Calcule as seguintes probabilidades:
e)
.
e)
Passo 1
Vamos resolver uma questão que envolve distribuições normais. Temos uma variável aleatória contínua
que segue uma distribuição normal com média 10 e variância 36, ou seja,
. Precisamos calcular a probabilidade de
estar entre 5 e 17, representada por
. Para isso, vamos utilizar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e ao cálculo de probabilidades usando a transformação para o escore z.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição normal. Uma distribuição normal é caracterizada por sua média (
) e desvio padrão (
). No nosso caso, a média é 10 e a variância é 36, o que significa que o desvio padrão é
. A distribuição normal é simétrica em torno da média e é usada para modelar diversos fenômenos naturais.
Passo 3
Para calcular a probabilidade
, precisamos transformar os valores de
em escores z, que padronizam a variável. A fórmula para calcular o escore z é:
Aplicando essa fórmula:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, usamos os escores z para encontrar as probabilidades correspondentes na tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora de funções de distribuição acumulada. A probabilidade
equivale a
.
Passo 5
Consultando a tabela ou usando uma calculadora:
Então, a probabilidade desejada é:
Resposta
A probabilidade de
estar entre 5 e 17 é aproximadamente 67,60%.
Exercícios relacionados
Seja
uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre
em cada uma das situações a seguir.
e) A área à esquerda de é 0,2119 .
e) A área à esquerda de
Seja
uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre
em cada uma das situações a seguir.
d) A área à esquerda de é 0,67 .
d) A área à esquerda de
Seja
uma variável aleatória contínua tal que
. Calcule as seguintes probabilidades:
f) .
f)
Os depósitos efetuados em um certo banco durante o mês de janeiro são distribuídos normalmente, com média de
e desvio padrão
. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. Calcule a probabilidade de que o depósito seja
b) pelo menos .
b) pelo menos