Seja uma variável aleatória discreto X. A função de probabilidade de X é dada por
| X | p(x) |
| :—: | p(x) |
| -1 | 0.2 |
| 2 | 0.3 |
| 4 | 0.4 |
| 5 | 0.1 |

Calcular

a função geradora de momento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória discreta com uma tabela de probabilidades. O exercício pede para calcular a função geradora de momentos (FGM) de . A FGM é uma ferramenta importante na estatística que ajuda a encontrar momentos da variável, como média e variância. Para resolver isso, vamos precisar saber como construir a FGM usando as probabilidades e os valores da variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função geradora de momentos. A FGM, denotada por MX(t) = E[e^tX] , é definida como:
Isso significa que a FGM é a expectativa do exponencial , onde é um parâmetro real.

Passo 3

Como MX(t) = sumx p(x) e^t x é uma variável aleatória discreta, a expectativa pode ser calculada somando-se os valores de multiplicados pelas respectivas probabilidades. Ou seja:
Aqui, é a probabilidade de assumir o valor .

Passo 4

Vamos aplicar isso aos valores dados na tabela:
X = -1, 2, 4, 5
p(x) = 0.2, 0.3, 0.4, 0.1
Substituindo esses valores na fórmula da FGM:
MX(t) = 0.2 cdot e^-t + 0.3 cdot e^2t + 0.4 cdot e^4t + 0.1 cdot e^5t

Resposta

A função geradora de momentos de MX(t) = 0.2,e^-t + 0.3,e^2t + 0.4,e^4t + 0.1,e^5t é:

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