Seja uma variável aleatória discreto X. A função de probabilidade de X é dada por
| X | p(x) |
| :—: | 0.2 |
| -1 | 0.2 |
| 2 | 0.3 |
| 4 | 0.4 |
| 5 | 0.1 |

Calcular

Calcule a função característica.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória discreta com uma função de probabilidade específica. O objetivo é calcular a função característica dessa variável. Para isso, vamos precisar saber o que é função característica e como aplicá-la em variáveis aleatórias discretas.

Passo 2

A função característica de uma variável aleatória varphiX(t) = E[e^itX] é uma função que nos ajuda a estudar as propriedades da distribuição de de uma maneira mais completa. Ela é definida pela fórmula:
Onde:
  • representa o valor esperado.
  • é a unidade imaginária ( ).
  • é um número real.
Para uma variável aleatória discreta, o valor esperado se traduz em uma soma sobre todos os possíveis valores de multiplicados pela probabilidade de cada valor.

Passo 3

Vamos aplicar a definição da função característica usando os valores e probabilidades fornecidos:
varphiX(t) = sumx e^itx cdot p(x)
Substituindo os valores de varphiX(t) = e^it cdot (-1) cdot 0.2 + e^it cdot 2 cdot 0.3 + e^it cdot 4 cdot 0.4 + e^it cdot 5 cdot 0.1 e varphiX(t) = 0.2, e^-it + 0.3, e^i2t + 0.4, e^i4t + 0.1, e^i5t :
Simplificando os exponentes:

Resposta

A função característica de varphiX(t) = 0.2, e^-it + 0.3, e^i2t + 0.4, e^i4t + 0.1, e^i5t é

Exercícios relacionados