Seja
uma variável aleatória com função de densidade dada por:
Determine o valor de t , tal que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de densidade de probabilidade definida por:
O que a gente precisa descobrir aqui é o valor de $ t $ tal que a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ t $ seja igual a $ \frac{1}{4} $. Ou seja, queremos encontrar $ t $ onde:
Para isso, vamos usar conceitos de função de densidade de probabilidade e função de distribuição acumulada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função de densidade de probabilidade $ f(x) $ nos dá a “densidade” de probabilidade em cada ponto $ x $. Para encontrar a probabilidade de $ X $ estar em um intervalo, a gente integra essa função nesse intervalo.
A função de distribuição acumulada (CDF) é justamente essa integral acumulada da função de densidade até um certo ponto $ t $. Matematicamente, é:
Passo 3
No nosso caso, como $ f(x) = 0 $ para $ x \leq 0 $ e $ x \geq 4 $, a integral fica simplificada para o intervalo onde $ f(x) $ é diferente de zero. Então, para $ 0 < t < 4 $:
Passo 4
Vamos calcular essa integral. A integral de $ \frac{1}{8} x $ em relação a $ x $ é:
Portanto:
Passo 5
Agora, queremos que $ F(t) = \frac{1}{4} $. Então, vamos igualar a expressão que achamos a $ \frac{1}{4} $:
Passo 6
Para resolver essa equação, multiplicamos ambos os lados por 16 para eliminar o denominador:
Passo 7
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ t $:
Resposta
O valor de $ t $ que satisfaz $ P(X \leq t) = \frac{1}{4} $ é $ t = 2 $.