Seja
uma variável aleatória com função de densidade dada por:
Determine o valor de t , tal que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de densidade dada por:
O conteúdo envolvido aqui é probabilidade contínua e função de densidade. A gente precisa achar o valor de $ t $ tal que a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a $ t $ seja igual a $ \frac{1}{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de $ X $ estar acima de $ t $ é dada pela integral da função de densidade de $ t $ até o máximo valor de $ X $, que no caso é 4. Então, temos:
Precisamos resolver essa integral para encontrar $ t $.
Passo 3
Vamos substituir $ f(x) $ na integral:
Vamos calcular essa integral. A integral de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{2} x^2 $. Então:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ t $:
Multiplicando ambos os lados por 16:
Subtraindo 16 de ambos os lados:
Multiplicando por -1:
Extraindo a raiz quadrada:
Então, $ t = 2\sqrt{2} $ é o valor que a gente estava procurando.
Resposta
O valor de $ t $ que satisfaz $ P(X \geq t) = \frac{1}{2} $ é $ t = 2\sqrt{2} $.