Seja X uma variável aleatória com função de densidade dada por:
f(x)=cc 18 x & 0
Determine o valor de t , tal que:
P(X >= t)=12

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de densidade dada por:
X á
O conteúdo envolvido aqui é probabilidade contínua e função de densidade. A gente precisa achar o valor de $ t $ tal que a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a $ t $ seja igual a $ \frac{1}{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de $ X $ estar acima de $ t $ é dada pela integral da função de densidade de $ t $ até o máximo valor de $ X $, que no caso é 4. Então, temos:
X
Precisamos resolver essa integral para encontrar $ t $.

Passo 3

Vamos substituir $ f(x) $ na integral:
f(x)
Vamos calcular essa integral. A integral de $ x $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{2} x^2 $. Então:
integralt^4 18 x , dx = 12
Isso simplifica para:
x

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ t $:
t
Multiplicando ambos os lados por 16:
116 (16 - t^2) = 12
Subtraindo 16 de ambos os lados:
16 - t^2 = 8
Multiplicando por -1:
-t^2 = -8
Extraindo a raiz quadrada:
t^2 = 8
Então, $ t = 2\sqrt{2} $ é o valor que a gente estava procurando.

Resposta

O valor de $ t $ que satisfaz $ P(X \geq t) = \frac{1}{2} $ é $ t = 2\sqrt{2} $.

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