Seja uma variável aleatória com função de distribuição acumulada dada abaixo. Determine o que se pede:
Calcule P(1 <= X <= 10)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidades! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com uma função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ definida por partes. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de $ X $ estar entre 1 e 10, ou seja, $ P(1 \leq X \leq 10) $. Para isso, vamos precisar entender como funciona a função de distribuição acumulada e usar ela para encontrar as probabilidades desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, $ F_X(x) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $. Matematicamente, é:
FX(x)
Passo 3
Queremos calcular $ P(1 \leq X \leq 10) $. Para isso, podemos usar a seguinte propriedade das probabilidades acumuladas:
P(1 <= X <= 10)
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 10 $. Então, precisamos encontrar $ F_X(10) $ e $ F_X(1) $.
Passo 4
Vamos olhar para a definição da função $ F_X(x) $. Segundo o enunciado:
Para $ x < 2,0 $, $ F_X(x) = 0 $
Para $ 2,0 \leq x < 5,0 $, $ F_X(x) = 0,1 $
Para $ 5,0 \leq x < 9,0 $, $ F_X(x) = 0,35 $
Para $ 9,0 \leq x < 13,0 $, $ F_X(x) = 0,65 $
Para $ 13,0 \leq x < 16,0 $, $ F_X(x) = 0,9 $
Para $ x \geq 16,0 $, $ F_X(x) = 1,0 $
Passo 5
Vamos encontrar $ F_X(10) $. Observando a faixa em que 10 se encaixa:
$ 9,0 \leq 10 < 13,0 $ → $ F_X(10) = 0,65 $
Passo 6
Agora, vamos encontrar $ F_X(1) $. Observando a faixa em que 1 se encaixa: