Seja X uma variável aleatória de média igual a 5 e variância igual a 1. Seja Y uma variável aleatória de média 1 e variância 4. Considere que X e Y são independentes e defina as variáveis aleatórias T e V como segue:
T=3 X-2 Y e V=6 X-4 Y-1
Determine o desvio padrão das variáveis T e V

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, X e Y, com médias e variâncias dadas. Queremos descobrir o desvio padrão das novas variáveis T e V, que são combinações lineares de X e Y. Para resolver isso, vamos usar conceitos de média, variância e desvio padrão, além de saber trabalhar com variáveis independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o desvio padrão de T. A variável T é definida por:
T = 3X - 2Y
Como X e Y são independentes, a variância de T é a soma das variâncias de cada termo multiplicado pelo quadrado do coeficiente:
Var(T) = 3^2 cdot Var(X) + (-2)^2 cdot Var(Y)
Substituindo os valores dados:
Var(T) = 9 cdot 1 + 4 cdot 4 = 9 + 16 = 25
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
DP(T) = raiz25 = 5

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão de V. A variável V é definida por:
V = 6X - 4Y - 1
A constante (-1) não afeta a variância, então focamos nos termos com X e Y:
Var(V) = 6^2 cdot Var(X) + (-4)^2 cdot Var(Y)
Substituindo os valores:
Var(V) = 36 cdot 1 + 16 cdot 4 = 36 + 64 = 100
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
DP(V) = raiz100 = 10

Resposta

O desvio padrão das variáveis é:
  • T: 5
  • V: 10

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