Seja X uma variável aleatória de média igual a 5 e variância igual a 1. Seja Y uma variável aleatória de média 1 e variância 4. Considere que X e Y são independentes e defina as variáveis aleatórias T e V como segue:
Determine o desvio padrão das variáveis T e V
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, X e Y, com médias e variâncias dadas. Queremos descobrir o desvio padrão das novas variáveis T e V, que são combinações lineares de X e Y. Para resolver isso, vamos usar conceitos de média, variância e desvio padrão, além de saber trabalhar com variáveis independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o desvio padrão de T. A variável T é definida por:
Como X e Y são independentes, a variância de T é a soma das variâncias de cada termo multiplicado pelo quadrado do coeficiente:
Substituindo os valores dados:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão de V. A variável V é definida por:
A constante (-1) não afeta a variância, então focamos nos termos com X e Y:
Substituindo os valores:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
O desvio padrão das variáveis é:
- T: 5
- V: 10