Seja uma variável aleatória X com função de distribuição acumulada dada abaixo. Determine o que se pede:
FX(x)= 0 ; & x<2,0 0,1 ; & 2,0 <= x<5,0 0,35 ; & 5,0 <= x<9,0 0,65 ; & 9,0 <= x<13,0 0,9 ; & 13,0 <= x<16,0 1,0 ; & x >= 16,0
Determine a média e o desvio padrão de X

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício onde precisamos encontrar a média e o desvio padrão de uma variável aleatória $ X $ que tem uma função de distribuição acumulada (CDF) definida de forma segmentada. Isso faz parte da matéria de Probabilidade e Estatística, mais especificamente sobre variáveis aleatórias e suas distribuições. Para resolver isso, vamos precisar entender como extrair as probabilidades individuais a partir da CDF e depois usar essas probabilidades para calcular a média e o desvio padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que $ X $ pode assumir e as respectivas probabilidades. A função de distribuição acumulada nos mostra a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor. Observando a CDF dada:
X
Podemos ver que $ X $ toma valores nos pontos onde a CDF pula, ou seja, em 2, 5, 9, 13 e 16. Agora, vamos calcular a probabilidade de $ X $ ser exatamente cada um desses valores.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de $ X $ ser igual a um valor específico, calculamos a diferença entre os valores consecutivos da CDF. Ou seja:
X
Onde $ F_X(x_i^-) $ é o valor da CDF logo antes de $ x_i $.
Vamos calcular para cada ponto:
  • Para $ X = 2 $:
    P(X = xi) = FX(xi) - FX(xi^-)
  • Para $ X = 5 $:
    FX(xi^-)
  • Para $ X = 9 $:
    xi
  • Para $ X = 13 $:
    X = 2
  • Para $ X = 16 $:
    P(X = 2) = FX(2) - FX(2^-) = 0,1 - 0 = 0,1
Então, as probabilidades são:
X = 5

Passo 4

Agora que temos as probabilidades para cada valor de $ X X é \mu $) de $ X $. A média de uma variável aleatória discreta é dada por:
mu
Vamos multiplicar cada valor de $ X $ pela sua probabilidade e somar tudo:
X
Calculando cada termo:
mu = sumi xi cdot P(X = xi)
Somando todos:
X
Então, a média de $ X $ é 8.

Passo 5

Agora, vamos calcular o desvio padrão ($ \sigma $) de $ X sigma â \sigma^2 $), que é dada por:
X
Sabemos que $ \mu = 8 $. Vamos calcular $ (x_i - 8)^2 $ para cada valor de $ X $ e multiplicar pela probabilidade correspondente:
sigma^2
Agora, somamos todos esses valores para obter a variância:
sigma^2 = sumi (xi - mu)^2 cdot P(X = xi)
Finalmente, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
mu = 8

Resposta

A média de $ X $ é 8 e o desvio padrão de $ X $ é aproximadamente 4,34.

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