Suponha
uma variável aleatória discreta com espaço de variação
e função de probabilidade dada por
onde
é uma constante positiva.
c) Calcule a variância de
.
c) Calcule a variância de
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a variância da variável aleatória discreta $ Y $, que pode assumir os valores $ {1,2,3,4,5} $ com uma função de probabilidade $ p_Y(k) = c \cdot k $. Vamos precisar entender sobre funções de probabilidade, média (esperança) e variância. Além disso, vamos precisar encontrar a constante $ c $ para que a soma das probabilidades seja 1.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a constante $ c $. Sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1:
Substituindo $ p_Y(k) = c \cdot k $:
Calculando a soma dentro dos parênteses:
Então, isolando $ c $:
Passo 3
Agora que temos $ c $, vamos calcular a esperança $ E(Y) $. A esperança de uma variável discreta é dada por:
Substituindo $ p_Y(k) = \frac{1}{15} \cdot k $:
Calculando a soma dos quadrados:
Então:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular $ E(Y^2) $, que é a esperança do quadrado de $ Y $:
Substituindo $ p_Y(k) = \frac{1}{15} \cdot k $:
Calculando a soma dos cubos:
Então:
Passo 5
Agora que temos $ E(Y) $ e $ E(Y^2) $, podemos calcular a variância usando a fórmula:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A variância de $ Y $ é $ \frac{14}{9} $ ou aproximadamente 1,5556.