Suponha Y uma variável aleatória discreta com espaço de variação RY=1,2,3,4,5 e função de probabilidade dada por
pY(k)=P(Y=k)=c k
onde c é uma constante positiva.
c) Calcule a variância de Y.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a variância da variável aleatória discreta $ Y $, que pode assumir os valores $ {1,2,3,4,5} $ com uma função de probabilidade $ p_Y(k) = c \cdot k $. Vamos precisar entender sobre funções de probabilidade, média (esperança) e variância. Além disso, vamos precisar encontrar a constante $ c $ para que a soma das probabilidades seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a constante $ c $. Sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1:
c
Substituindo $ p_Y(k) = c \cdot k $:
sumk=1^5 pY(k) = 1
Calculando a soma dentro dos parênteses:
pY(k) = c cdot k
Então, isolando $ c $:
c cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 1

Passo 3

Agora que temos $ c $, vamos calcular a esperança $ E(Y) $. A esperança de uma variável discreta é dada por:
c
Substituindo $ p_Y(k) = \frac{1}{15} \cdot k $:
E(Y)
Calculando a soma dos quadrados:
E(Y) = sumk=1^5 k cdot pY(k)
Então:
pY(k) = 115 cdot k

Passo 4

Em seguida, vamos calcular $ E(Y^2) $, que é a esperança do quadrado de $ Y $:
E(Y^2)
Substituindo $ p_Y(k) = \frac{1}{15} \cdot k $:
Y
Calculando a soma dos cubos:
E(Y^2) = sumk=1^5 k^2 cdot pY(k)
Então:
pY(k) = 115 cdot k

Passo 5

Agora que temos $ E(Y) $ e $ E(Y^2) $, podemos calcular a variância usando a fórmula:
E(Y)
Substituindo os valores encontrados:
E(Y^2)

Resposta

A variância de $ Y $ é $ \frac{14}{9} $ ou aproximadamente 1,5556.

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