Suponha uma variável aleatória
com espaço de variação
e função de probabilidade
, para
.
a) Calcule a probabilidade de
retornar valores maiores que 4.
a) Calcule a probabilidade de
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores $ 1, 2, 3, ··· $, e a probabilidade de cada valor $ k $ ser $ p_X(k) = \frac{1}{2^k} $. O exercício quer saber qual a probabilidade de $ X $ ser maior que 4, ou seja, $ P(X > 4) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o que significa $ P(X > 4) $. Isso é a soma das probabilidades de $ X $ ser 5, 6, 7, e assim por diante. Matemáticamente:
Passo 3
Sabemos que $ P(X = k) = \frac{1}{2^k} $, então substituindo:
Passo 4
Observamos que isso é uma série geométrica infinita onde cada termo é $ \frac{1}{2} $ vezes o termo anterior. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
onde $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão.
Passo 5
No nosso caso, o primeiro termo $ a = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} $ e a razão $ r = \frac{1}{2} $. Substituindo na fórmula:
Resposta
A probabilidade de $ X $ retornar valores maiores que 4 é $ \frac{1}{16} $.