Suponha uma variável aleatória X com espaço de variação RX=1,2,3, ldots e função de probabilidade pX(k)=1 / 2^k, para k in RX.
a) Calcule a probabilidade de X retornar valores maiores que 4.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores $ 1, 2, 3, ··· $, e a probabilidade de cada valor $ k $ ser $ p_X(k) = \frac{1}{2^k} $. O exercício quer saber qual a probabilidade de $ X $ ser maior que 4, ou seja, $ P(X > 4) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o que significa $ P(X > 4) $. Isso é a soma das probabilidades de $ X $ ser 5, 6, 7, e assim por diante. Matemáticamente:
P(X > 4)

Passo 3

Sabemos que $ P(X = k) = \frac{1}{2^k} $, então substituindo:
P(X = k) = 12^k

Passo 4

Observamos que isso é uma série geométrica infinita onde cada termo é $ \frac{1}{2} $ vezes o termo anterior. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
12
onde $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão.

Passo 5

No nosso caso, o primeiro termo $ a = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} $ e a razão $ r = \frac{1}{2} $. Substituindo na fórmula:
a = 12^5 = 132

Resposta

A probabilidade de $ X $ retornar valores maiores que 4 é $ \frac{1}{16} $.

Exercícios relacionados