Seja a variável aleatória que indica a carga de ruptura de barras de aço obtidas em certo processo de fabricação e suponha que . Caso a barra apresente carga de ruptura , a mesma dá um lucro de ao fabricante. Porém, se a barra será utilizada para outra finalidade e o lucro se reduz a .
b) Se é a variável aleatória que denota o lucro, em reais, do fabricante, por barra, obtenha a distribuição de probabilidade da v.a. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória que representa a carga de ruptura de barras de aço, que segue uma distribuição normal com média e variância (ou seja, desvio padrão ). A gente precisa descobrir como essa distribuição afeta o lucro do fabricante, que pode ser se a carga for maior ou igual a , ou se for menor que . Então, vamos usar conceitos de distribuição normal e cálculo de probabilidades para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os possíveis valores que pode assumir e as probabilidades associadas a cada valor. Sabemos que:
quando
quando
Então, precisamos calcular as probabilidades de ser maior ou igual a e de ser menor que .
Passo 3
Como segue uma distribuição normal , o desvio padrão é . Para encontrar , vamos padronizar o valor usando a fórmula do escore :
Agora, buscamos a probabilidade correspondente a na tabela da distribuição normal padrão.
Passo 4
Consultando a tabela ou usando uma calculadora de distribuição normal, encontramos que:
Isso significa que a probabilidade de é aproximadamente . Daí, a probabilidade de é: