Seja X a variável aleatória que indica a carga de ruptura de barras de aço obtidas em certo processo de fabricação e suponha que X sim N(100 ; 16). Caso a barra apresente carga de ruptura X >= 95, a mesma dá um lucro de R ao fabricante. Porém, se ao fabricante Porém, se a barra será utilizada para outra finalidade e o lucro se reduz a a barra será utilizada para outra finalidade e o lucro se reduz a .
b) Se 10,00 é a variável aleatória que denota o lucro, em reais, do fabricante, por barra, obtenha a distribuição de probabilidade da v.a. Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória X que representa a carga de ruptura de barras de aço, que segue uma distribuição normal com média 100 e variância 16 (ou seja, desvio padrão 4). A gente precisa descobrir como essa distribuição afeta o lucro Y do fabricante, que pode ser R se a carga for maior ou igual a se a carga for maior ou igual a , ou , ou se for menor que 10,00. Então, vamos usar conceitos de distribuição normal e cálculo de probabilidades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os possíveis valores que Y pode assumir e as probabilidades associadas a cada valor. Sabemos que:
  • Y = 25 quando X >= 95
  • Y = 10 quando X < 95
Então, precisamos calcular as probabilidades de X ser maior ou igual a 95 e de X ser menor que 95.

Passo 3

Como X segue uma distribuição normal N(100, 16), o desvio padrão é sigma = 4. Para encontrar P(X >= 95), vamos padronizar o valor usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma = 95 - 1004 = -1.25
Agora, buscamos a probabilidade correspondente a z >= -1.25 na tabela da distribuição normal padrão.

Passo 4

Consultando a tabela ou usando uma calculadora de distribuição normal, encontramos que:
P(Z >= -1.25) approx 0.8944
Isso significa que a probabilidade de X >= 95 é aproximadamente 89,44%. Daí, a probabilidade de X < 95 é:
P(X < 95) = 1 - P(X >= 95) approx 1 - 0.8944 = 0.1056

Resposta

A distribuição de probabilidade da variável Y é:
Y = 25, & com probabilidade 0,8944 10, & com probabilidade 0,1056

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