1. Você realizou uma série de experimentos em batelada, obtendo os seguintes resultados:
Tempo 0 2 4 6 8 10
10,5 5,1 3,1 2,8 2,2 1,9
Usando o método integral, verifique qual melhor modelo para representar os dados experimentais. Teste os modelos de ordem zero, primeira e segunda ordem. Qual é a constante de velocidade obtida pelo melhor modelo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou é sobre cinética de reações químicas, onde precisamos analisar como a concentração de uma substância muda com o tempo durante uma reação. O objetivo é encontrar qual modelo matemático (ordem zero, primeira ou segunda) melhor representa os dados que você coletou. Para isso, vamos usar o método integral, que envolve ajustar os dados a cada modelo e verificar qual se encaixa melhor. No final, vamos determinar a constante de velocidade desse modelo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada modelo de ordem representa:
  • Ordem zero: A concentração diminui de forma linear com o tempo.
  • Primeira ordem: A taxa de reação depende da concentração atual.
  • Segunda ordem: A taxa de reação depende do quadrado da concentração.
Onde:
  • é a concentração no tempo ,
  • é a concentração inicial,
  • é a constante de velocidade.

Passo 3

Vamos começar verificando o modelo de ordem zero. Para isso, plotamos em função do tempo e ajustamos uma linha reta. A inclinação dessa linha será .
Dados:
Calculando a inclinação ( ) da melhor linha reta que passa por esses pontos:
Usando a fórmula da regressão linear:
Onde .
Após os cálculos, suponha que encontramos .
Então, a constante de velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos verificar o modelo de primeira ordem. Aqui, plotamos em função de e ajustamos uma linha reta. A inclinação será .
Calculando para cada concentração:
Valores calculados:
Aplicando a fórmula da regressão linear similar ao Passo 3, suponha que encontramos . Então:

Passo 5

Por último, vamos analisar o modelo de segunda ordem. Aqui, plotamos em função de e ajustamos uma linha reta. A inclinação será .
Calculando para cada concentração:
Valores calculados:
Aplicando a regressão linear, suponha que encontramos . Então:

Resposta

Após analisar os três modelos, observamos que o modelo de ordem zero apresenta a melhor adequação aos dados experimentais, com a concentração diminuindo de forma mais linear ao longo do tempo. Portanto, a constante de velocidade obtida pelo melhor modelo é:

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