Seja X uma variável aleatória Normal com média 10 e desvio-padrão 2, determine as seguintes probabilidades:
(a) P(X<13)
(b) P(X>9)
© P(6
(d) P(2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média e desvio-padrão . Nosso objetivo é encontrar as probabilidades de estar abaixo de 13, acima de 9, entre 6 e 14, e entre 2 e 8. Para isso, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão e a transformação do valor para o valor da distribuição normal padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular Z = X - musigma . Para isso, precisamos transformar o valor 13 em um valor Z = 13 - 102 = 32 = 1.5 usando a fórmula:
Substituindo:
Agora, buscamos na tabela de distribuição normal padrão o valor de .

Passo 3

Consultando a tabela de P(X < 13) = 0.9332 , encontramos que é aproximadamente 0.9332. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular Z = 9 - 102 = -12 = -0.5 . Primeiro, transformamos 9 em :
Queremos , que é igual a .

Passo 5

Sabemos que a distribuição normal é simétrica, então:
P(Z > -0.5) = 1 - P(Z < -0.5)
Consultando a tabela, P(Z > -0.5) = 1 - 0.3085 = 0.6915 é aproximadamente 0.3085. Portanto:
P(X > 9) = 0.6915
Logo:

Passo 6

Vamos para Z1 = 6 - 102 = -42 = -2 . Precisamos transformar ambos os valores para Z2 = 14 - 102 = 42 = 2 :
Assim, queremos .

Passo 7

Consultando a tabela:
P(Z < 2) approx 0.9772
P(Z < -2) approx 0.0228
Portanto:
P(-2 < Z < 2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544
Então:
P(6 < X < 14) = 0.9544

Passo 8

Por fim, vamos calcular Z1 = 2 - 102 = -82 = -4 . Transformamos os valores para Z2 = 8 - 102 = -22 = -1 :
Queremos .

Passo 9

Consultando a tabela:
P(Z < -1) approx 0.1587
P(Z < -4) approx 0.00003
Então:
P(-4 < Z < -1) = 0.1587 - 0.00003 approx 0.1587
Logo:
P(2 < X < 8) approx 0.1587

Resposta

As probabilidades são:
(a)
(b)
©
(d)

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