Seja
uma variável aleatória Normal com média 10 e desvio-padrão 2, determine as seguintes probabilidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a probabilidade de uma variável aleatória
, que segue uma distribuição Normal com média 10 e desvio-padrão 2, estar entre 2 e 8. Ou seja, queremos calcular
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição Normal e à padronização de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma variável seguir uma distribuição Normal. A distribuição Normal é uma curva em forma de sino que é simétrica em relação à média. No nosso caso, a média (
) é 10 e o desvio-padrão (
) é 2. O desvio-padrão nos dá uma ideia de quanta variação ou dispersão há em torno da média.
Passo 3
Para calcular a probabilidade
, precisamos transformar essa variável
em uma variável padronizada
, que segue a distribuição Normal padrão (média 0 e desvio-padrão 1). A fórmula para essa transformação é:
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula para os valores limites de
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, queremos encontrar
. Isso significa que estamos procurando a área sob a curva Normal padrão entre
e
.
Passo 6
Consultando a tabela da distribuição Normal padrão ou usando uma calculadora de probabilidades, encontramos os valores:
Onde
representa a função de distribuição acumulada da Normal padrão.
Passo 7
A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas áreas:
Resposta
A probabilidade
é aproximadamente 15,87%.