Seja uma variável aleatória Normal com média 10 e desvio-padrão 2, determine as seguintes probabilidades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a probabilidade de uma variável aleatória , que segue uma distribuição Normal com média 10 e desvio-padrão 2, estar entre 2 e 8. Ou seja, queremos calcular . Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição Normal e à padronização de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma variável seguir uma distribuição Normal. A distribuição Normal é uma curva em forma de sino que é simétrica em relação à média. No nosso caso, a média ( ) é 10 e o desvio-padrão ( ) é 2. O desvio-padrão nos dá uma ideia de quanta variação ou dispersão há em torno da média.

Passo 3

Para calcular a probabilidade , precisamos transformar essa variável em uma variável padronizada , que segue a distribuição Normal padrão (média 0 e desvio-padrão 1). A fórmula para essa transformação é:

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para os valores limites de :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, queremos encontrar . Isso significa que estamos procurando a área sob a curva Normal padrão entre e .

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição Normal padrão ou usando uma calculadora de probabilidades, encontramos os valores:
Onde representa a função de distribuição acumulada da Normal padrão.

Passo 7

A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas áreas:

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 15,87%.

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Seja uma variável aleatória Normal com média 10 e desvio-padrão 2, determine as seguintes probabilidades:
(a)
(b)
©
(d)
Seja uma variável aleatória Normal padrão, determine o valor de em cada caso:
O peso de recém-nascidos de uma amostra pode ser modelado por uma distribuição Normal, com uma média de 3000 gramas e um desvio-padrão de 100 gramas. Para um recém-nascido escolhido ao acaso na amostra: Qual a probabilidade do peso ser menor que 3250 g. ?
Seja uma variável aleatória Normal padrão, determine o valor de em cada caso: