Seja X uma variável aleatória Normal com média 10 e desvio-padrão 2, determine as seguintes probabilidades: P(2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a probabilidade de uma variável aleatória , que segue uma distribuição Normal com média 10 e desvio-padrão 2, estar entre 2 e 8. Ou seja, queremos calcular . Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição Normal e à padronização de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma variável seguir uma distribuição Normal. A distribuição Normal é uma curva em forma de sino que é simétrica em relação à média. No nosso caso, a média ( ) é 10 e o desvio-padrão ( ) é 2. O desvio-padrão nos dá uma ideia de quanta variação ou dispersão há em torno da média.

Passo 3

Para calcular a probabilidade Z = X - musigma , precisamos transformar essa variável em uma variável padronizada , que segue a distribuição Normal padrão (média 0 e desvio-padrão 1). A fórmula para essa transformação é:

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula para os valores limites de Z1 = 2 - 102 = -82 = -4 :
Para Z2 = 8 - 102 = -22 = -1 :
Para :

Passo 5

Agora, queremos encontrar . Isso significa que estamos procurando a área sob a curva Normal padrão entre e .

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição Normal padrão ou usando uma calculadora de probabilidades, encontramos os valores:
Phi(-1) approx 0,1587
Phi(-4) approx 0,00003
Onde representa a função de distribuição acumulada da Normal padrão.

Passo 7

A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas áreas:
P(-4 < Z < -1) = Phi(-1) - Phi(-4) approx 0,1587 - 0,00003 approx 0,1587

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 15,87%.

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