Seja uma variável aleatória Normal com média 10 e desvio-padrão 2, determine o valor de em cada caso:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média e desvio-padrão . Queremos encontrar o valor de tal que a probabilidade de estar dentro do intervalo a seja . Basicamente, estamos procurando o intervalo em torno da média que contém 99% dos valores de .
Passo 2
Primeiro, vamos padronizar a variável para transformar a distribuição Normal original em uma distribuição Normal padrão, que tem média e desvio-padrão . A fórmula de padronização é:
Onde:
é a variável padronizada,
é a média,
é o desvio-padrão.
Passo 3
Aplicando a fórmula de padronização:
Queremos encontrar tal que:
Dividindo todos os termos por :
Ou seja:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de tal que a probabilidade de estar entre e seja . Isso significa que queremos encontrar o intervalo central que contém 99% dos valores na distribuição Normal padrão.
Consultando a tabela da distribuição Normal padrão ou usando uma calculadora, descobrimos que o valor de que corresponde a uma probabilidade de no intervalo central é aproximadamente .
Passo 5
Agora, relacionamos com :
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :