Seja X uma variável aleatória Normal com média 10 e desvio-padrão 2, determine o valor de x em cada caso: P(-x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média e desvio-padrão . Queremos encontrar o valor de tal que a probabilidade de estar dentro do intervalo a seja . Basicamente, estamos procurando o intervalo em torno da média que contém 99% dos valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos padronizar a variável Z = X - musigma para transformar a distribuição Normal original em uma distribuição Normal padrão, que tem média e desvio-padrão . A fórmula de padronização é:
Onde:
  • é a variável padronizada,
  • é a média,
  • é o desvio-padrão.

Passo 3

Aplicando a fórmula de padronização:
Z = X - 102
Queremos encontrar P(-x < X - 10 <= x) = 0,99 tal que:
P(-x2 < X - 102 <= x2) = 0,99
Dividindo todos os termos por P(-x2 < Z <= x2) = 0,99 :
Ou seja:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de tal que a probabilidade de estar entre e seja . Isso significa que queremos encontrar o intervalo central que contém 99% dos valores na distribuição Normal padrão.
Consultando a tabela da distribuição Normal padrão ou usando uma calculadora, descobrimos que o valor de que corresponde a uma probabilidade de no intervalo central é aproximadamente .

Passo 5

Agora, relacionamos x2 = 2,576 com x = 2 times 2,576 = 5,152 :
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Resposta

O valor de é aproximadamente .

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