Suponha que uma moeda seja lançada repetidamente até que r=3 caras apareçam. Se a probabilidade de obter cara em cada lançamento é p=0,5, então a distribuição do número de coroas X antes de obter 3 caras segue uma distribuição de Pascal com r=3 e p=0,5.
Qual é a probabilidade do número de coroas ser 5 antes que 3 caras apareçam?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma moeda que lançamos várias vezes até conseguirmos 3 caras (r = 3). Cada lançamento tem uma probabilidade de 0,5 de dar cara (p = 0,5). Queremos descobrir qual é a probabilidade de obter exatamente 5 coroas antes das 3 caras aparecerem. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Pascal, que é útil para calcular probabilidades desse tipo de situação.

Passo 2

A Distribuição de Pascal nos ajuda a encontrar a probabilidade de obter um certo número de falhas (no nosso caso, coroas) antes de alcançar um número específico de sucessos (caras). A fórmula geral da Distribuição de Pascal é:
P(X = k) = binomr + k - 1k cdot p^r cdot (1 - p)^k
Onde:
  • é o número de sucessos que queremos (3 caras),
  • é o número de falhas antes de alcançar os sucessos (5 coroas),
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,5),
  • é o coeficiente binomial que calcula as diferentes maneiras de obter essas combinações.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(X = 5) = binom3 + 5 - 15 cdot (0,5)^3 cdot (1 - 0,5)^5
Simplificando os termos:
P(X = 5) = binom75 cdot (0,5)^3 cdot (0,5)^5

Passo 4

Calculando o coeficiente binomial binom75 = 7!5! cdot (7-5)! = 7 times 62 times 1 = 21 :
21 cdot (0,5)^3 cdot (0,5)^5 = 21 cdot (0,5)^8
Agora, vamos multiplicar por (0,5)^8 = 1256 e 21 cdot 1256 = 21256 :
Calculando :
Então:

Resposta

A probabilidade do número de coroas ser 5 antes que 3 caras apareçam é , ou aproximadamente 0,082.

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