Suponha que uma moeda seja lançada repetidamente até que
caras apareçam. Se a probabilidade de obter cara em cada lançamento é
, então a distribuição do número de coroas
antes de obter 3 caras segue uma distribuição de Pascal com
e
.
Qual é a probabilidade do número de coroas ser 5 antes que 3 caras apareçam?
Qual é a probabilidade do número de coroas ser 5 antes que 3 caras apareçam?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma moeda que lançamos várias vezes até conseguirmos 3 caras (
r = 3
). Cada lançamento tem uma probabilidade de 0,5 de dar cara (p = 0,5
). Queremos descobrir qual é a probabilidade de obter exatamente 5 coroas antes das 3 caras aparecerem. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Pascal, que é útil para calcular probabilidades desse tipo de situação.Passo 2
A Distribuição de Pascal nos ajuda a encontrar a probabilidade de obter um certo número de falhas (no nosso caso, coroas) antes de alcançar um número específico de sucessos (caras). A fórmula geral da Distribuição de Pascal é:
Onde:
-
é o número de sucessos que queremos (3 caras), -
é o número de falhas antes de alcançar os sucessos (5 coroas), -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,5), -
é o coeficiente binomial que calcula as diferentes maneiras de obter essas combinações.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula:
Simplificando os termos:
Passo 4
Calculando o coeficiente binomial
:
Agora, vamos multiplicar por
e
:
Calculando
:
Então:
Resposta
A probabilidade do número de coroas ser 5 antes que 3 caras apareçam é
, ou aproximadamente 0,082.