Seja
uma variável aleatória,
,
qual é a função característica da variável
?
qual é a função característica da variável
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória
que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro 5, ou seja,
. O que a pergunta quer é descobrir a função característica dessa variável. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função característica e como aplicá-la na distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é a função característica. A função característica de uma variável aleatória
é definida como
, onde
representa o valor esperado e
é a unidade imaginária. Ela nos ajuda a entender propriedades da distribuição da variável
.
Passo 3
Agora, como nossa variável
segue uma distribuição de Poisson com parâmetro 5, sabemos que a função de massa de probabilidade (fmp) é dada por:
Vamos usar essa fmp para calcular a função característica.
Passo 4
Vamos substituir a definição da função característica usando a fmp da Poisson:
Passo 5
Observando a soma que aparece, reconhecemos que ela se parece com a expansão da série de Taylor para
, onde
. Lembrando que:
Isso nos permite simplificar a expressão da função característica.
Passo 6
Aplicando a observação anterior, temos:
Isso simplifica a função característica para uma forma mais compacta e útil.
Resposta
A função característica de
é: