Seja X uma variável aleatória, X sim Poisson(5),
qual é a função característica da variável X ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro 5, ou seja, . O que a pergunta quer é descobrir a função característica dessa variável. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função característica e como aplicá-la na distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é a função característica. A função característica de uma variável aleatória é definida como , onde representa o valor esperado e é a unidade imaginária. Ela nos ajuda a entender propriedades da distribuição da variável .

Passo 3

Agora, como nossa variável P(X = k) = e^-5 cdot 5^kk! para k = 0, 1, 2, dots segue uma distribuição de Poisson com parâmetro 5, sabemos que a função de massa de probabilidade (fmp) é dada por:
Vamos usar essa fmp para calcular a função característica.

Passo 4

Vamos substituir a definição da função característica usando a fmp da Poisson:
varphiX(t) = E[e^itX] = sumk=0^infty e^itk cdot P(X = k) = sumk=0^infty e^itk cdot e^-5 cdot 5^kk!

Passo 5

Observando a soma que aparece, reconhecemos que ela se parece com a expansão da série de Taylor para e^x = sumk=0^infty x^kk! , onde . Lembrando que:
Isso nos permite simplificar a expressão da função característica.

Passo 6

Aplicando a observação anterior, temos:
varphiX(t) = e^-5 cdot sumk=0^infty (5e^it)^kk! = e^-5 cdot e^5e^it = e^5(e^it - 1)
Isso simplifica a função característica para uma forma mais compacta e útil.

Resposta

A função característica de varphiX(t) = e^5(e^it - 1) é:

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