Seja uma variável aleatória X com distribuição Bernoulli, prove que se X sim Bernoulli§, então
a função característica de X é dada por PhiX(t)=(p e^i t+1-p),

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar a função característica de uma variável aleatória X que segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro p. Basicamente, isso significa que X pode assumir somente dois valores: 1 com probabilidade p e 0 com probabilidade 1-p. Para resolver isso, vamos lembrar o que é função característica e como calculá-la para uma distribuição discreta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função característica. A função característica de uma variável aleatória X é definida por:
PhiX(t) = E[e^itX]
Aqui, E representa o valor esperado e i é a unidade imaginária. Essa função é uma forma de transformar a distribuição de X em termos de frequências angulares t.

Passo 3

Agora, já que X é uma variável Bernoulli, sabemos que ela só pode ser 0 ou 1. Então, vamos calcular a função característica considerando esses dois possíveis valores de X:
  • Se X = 1, a contribuição para o valor esperado é e^it com probabilidade p.
  • Se X = 0, a contribuição é e^i cdot 0 = 1 com probabilidade 1-p.

Passo 4

Vamos agora substituir esses valores na definição da função característica:
PhiX(t) = E[e^itX] = p cdot e^it + (1 - p) cdot 1
Isso porque multiplicamos cada possível valor de e^itX pela sua respectiva probabilidade.

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
PhiX(t) = p e^it + 1 - p
E é isso! Mostramos que a função característica de uma variável Bernoulli com parâmetro p é exatamente essa expressão.

Resposta

A função característica de X é PhiX(t) = p e^i t + 1 - p.

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