Seja uma variável aleatória
com distribuição Bernoulli, prove que se
Bernoulli§, então
a função característica de X é dada por
,
a função característica de X é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar a função característica de uma variável aleatória
que segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro
. Basicamente, isso significa que
pode assumir somente dois valores: 1 com probabilidade
e 0 com probabilidade
. Para resolver isso, vamos lembrar o que é função característica e como calculá-la para uma distribuição discreta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função característica. A função característica de uma variável aleatória
é definida por:
Aqui,
representa o valor esperado e
é a unidade imaginária. Essa função é uma forma de transformar a distribuição de
em termos de frequências angulares
.
Passo 3
Agora, já que
é uma variável Bernoulli, sabemos que ela só pode ser 0 ou 1. Então, vamos calcular a função característica considerando esses dois possíveis valores de
:
- Se
, a contribuição para o valor esperado é com probabilidade . - Se
, a contribuição é com probabilidade .
Passo 4
Vamos agora substituir esses valores na definição da função característica:
Isso porque multiplicamos cada possível valor de
pela sua respectiva probabilidade.
Passo 5
Simplificando a expressão, temos:
E é isso! Mostramos que a função característica de uma variável Bernoulli com parâmetro
é exatamente essa expressão.
Resposta
A função característica de
é
.