Seja uma variável aleatória
com distribuição Bernoulli, prove que se
Bernoulli§, então
a) a função geradora de momentos de X é dada por
,
a) a função geradora de momentos de X é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente prove qual é a função geradora de momentos da variável aleatória
que segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro
. Isso significa que a gente vai mostrar que
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre distribuições de Bernoulli e funções geradoras de momentos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Bernoulli. Uma variável aleatória
que é Bernoulli com parâmetro
, escrita como
, pode assumir apenas dois valores: 1 (com probabilidade
) e 0 (com probabilidade
). Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos ver o que é a função geradora de momentos (FGM). A FGM de uma variável aleatória
é definida como:
Isso significa que a função geradora de momentos é a expectativa do exponencial
, onde
é uma variável real.
Passo 4
Vamos calcular
para a nossa variável Bernoulli. Sabemos que
pode ser 0 ou 1, então vamos calcular a expectativa considerando esses dois casos:
Passo 5
Substituindo as probabilidades que já conhecemos:
Sabemos que
, então simplificando:
Resposta
A função geradora de momentos de
é
.