Seja uma variável aleatória X com distribuição Bernoulli, prove que se X sim Bernoulli§, então
a) a função geradora de momentos de X é dada por MX(t)=(p e^t+1-p),

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão quer que a gente prove qual é a função geradora de momentos da variável aleatória que segue uma distribuição de Bernoulli com parâmetro . Isso significa que a gente vai mostrar que . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre distribuições de Bernoulli e funções geradoras de momentos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Bernoulli. Uma variável aleatória P(X = 1) = p e P(X = 0) = 1 - p que é Bernoulli com parâmetro , escrita como , pode assumir apenas dois valores: 1 (com probabilidade ) e 0 (com probabilidade ). Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos ver o que é a função geradora de momentos (FGM). A FGM de uma variável aleatória MX(t) = E[e^tX] é definida como:
Isso significa que a função geradora de momentos é a expectativa do exponencial , onde é uma variável real.

Passo 4

Vamos calcular MX(t) = E[e^tX] = e^t cdot 0 cdot P(X = 0) + e^t cdot 1 cdot P(X = 1) para a nossa variável Bernoulli. Sabemos que pode ser 0 ou 1, então vamos calcular a expectativa considerando esses dois casos:

Passo 5

Substituindo as probabilidades que já conhecemos:
MX(t) = e^0 cdot (1 - p) + e^t cdot p
Sabemos que MX(t) = 1 cdot (1 - p) + e^t cdot p = 1 - p + p e^t , então simplificando:

Resposta

A função geradora de momentos de é .

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