Seja uma variável aleatória
com distribuição Binomial,
,
qual é a função característica da variável
?
qual é a função característica da variável
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a função característica de uma variável aleatória
que segue uma distribuição Binomial, ou seja,
. A matéria envolvida aqui é sobre funções características em estatística e probabilidade, que ajudam a entender melhor as propriedades das distribuições. Para resolver, vamos precisar saber o que é uma função característica e como aplicá-la na distribuição Binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função característica. A função característica de uma variável aleatória
é definida como
, onde
é o valor esperado e
é a unidade imaginária. Ela nos ajuda a representar a distribuição de
de uma maneira que facilita várias análises matemáticas.
Passo 3
Como
segue uma distribuição Binomial com parâmetros
e
, sabemos que
é a soma de 10 variáveis aleatórias de Bernoulli, cada uma com probabilidade de sucesso
. A função característica de uma soma de variáveis independentes é o produto das funções características individuais.
Passo 4
A função característica de uma única variável Bernoulli com parâmetro
é
. Isso porque uma variável Bernoulli só pode assumir 0 ou 1, e usamos a definição da função característica para calcular essa expressão.
Passo 5
Como temos 10 dessas variáveis Bernoulli independentes, a função característica da soma
será o produto das funções características de cada Bernoulli. Portanto, elevamos a função característica de uma Bernoulli ao poder 10.
Resposta
A função característica de
é
.