Seja uma variável aleatória X com distribuição Binomial, X sim B(10,0.3),
qual é a função característica da variável X ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a função característica de uma variável aleatória que segue uma distribuição Binomial, ou seja, . A matéria envolvida aqui é sobre funções características em estatística e probabilidade, que ajudam a entender melhor as propriedades das distribuições. Para resolver, vamos precisar saber o que é uma função característica e como aplicá-la na distribuição Binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função característica. A função característica de uma variável aleatória é definida como , onde é o valor esperado e é a unidade imaginária. Ela nos ajuda a representar a distribuição de de uma maneira que facilita várias análises matemáticas.

Passo 3

Como segue uma distribuição Binomial com parâmetros e , sabemos que é a soma de 10 variáveis aleatórias de Bernoulli, cada uma com probabilidade de sucesso . A função característica de uma soma de variáveis independentes é o produto das funções características individuais.

Passo 4

A função característica de uma única variável Bernoulli com parâmetro é . Isso porque uma variável Bernoulli só pode assumir 0 ou 1, e usamos a definição da função característica para calcular essa expressão.

Passo 5

Como temos 10 dessas variáveis Bernoulli independentes, a função característica da soma será o produto das funções características de cada Bernoulli. Portanto, elevamos a função característica de uma Bernoulli ao poder 10.

Resposta

A função característica de é .

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