Seja
uma variável aleatória,
,
qual é o valor esperado e a variância da variável
?
qual é o valor esperado e a variância da variável
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória
que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro 5, ou seja,
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado e a variância dessa variável. Para isso, vamos precisar entender as propriedades básicas da distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a distribuição de Poisson. Essa distribuição é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo de tempo fixo ou em um espaço específico, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente uns dos outros. A função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:
onde:
-
é o parâmetro da distribuição (neste caso, 5), -
é o número de eventos, -
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o valor esperado de uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson. O valor esperado
é simplesmente o parâmetro
da distribuição. Ou seja:
No nosso caso, como
, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos ver a variância dessa distribuição. A variância
em uma distribuição de Poisson também é igual ao parâmetro
. Portanto:
Assim, para
:
Resposta
O valor esperado de
é 5 e a variância de
também é 5.