Seja X uma variável aleatória, X sim Poisson(5),
qual é o valor esperado e a variância da variável X ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória que segue uma distribuição de Poisson com parâmetro 5, ou seja, . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado e a variância dessa variável. Para isso, vamos precisar entender as propriedades básicas da distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a distribuição de Poisson. Essa distribuição é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo de tempo fixo ou em um espaço específico, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente uns dos outros. A função de probabilidade da distribuição de Poisson é dada por:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
  • é o parâmetro da distribuição (neste caso, 5),
  • é o número de eventos,
  • é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o valor esperado de uma variável aleatória que segue a distribuição de Poisson. O valor esperado E(X) = lambda é simplesmente o parâmetro E(X) = 5 da distribuição. Ou seja:
No nosso caso, como , temos:

Passo 4

Em seguida, vamos ver a variância dessa distribuição. A variância Var(X) = lambda em uma distribuição de Poisson também é igual ao parâmetro Var(X) = 5 . Portanto:
Assim, para :

Resposta

O valor esperado de é 5 e a variância de também é 5.

Exercícios relacionados