Suponha que uma moeda seja lançada repetidamente até que r=3 caras apareçam. Se a probabilidade de obter cara em cada lançamento é p=0,5, então a distribuição do número de coroas X antes de obter 3 caras segue uma distribuição de Pascal com r=3 e p=0,5.
Calcular Va(X) e D P(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar uma moeda até conseguir 3 caras, onde a chance de dar cara em cada lançamento é 0,5. A gente precisa descobrir duas coisas sobre o número de coroas (X) que aparecem antes de chegar nas 3 caras: a média (Va(X)) e a variância (DP(X)). Vamos usar a distribuição de Pascal, que é ótima para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Pascal. Ela é usada quando queremos saber quantas falhas (no caso, as coroas) acontecem antes de alcançar um certo número de sucessos (as caras). Os parâmetros que a gente tem são:
  • : número de caras que queremos.
  • : probabilidade de dar cara em cada lançamento.

Passo 3

A média (esperança) de uma distribuição de Pascal é dada por:
E[X] = r(1-p)p
Aqui, E[X] = 3 times (1 - 0,5)0,5 = 3 times 0,50,5 = 1,50,5 = 3 e . Vamos calcular:
Então, a média de coroas antes das 3 caras é 3.

Passo 4

Agora, vamos para a variância. A fórmula da variância para a distribuição de Pascal é:
Var(X) = r(1-p)p^2
Substituindo os valores:
Var(X) = 3 times (1 - 0,5)(0,5)^2 = 3 times 0,50,25 = 1,50,25 = 6
Então, a variância é 6.

Resposta

A média de coroas antes de obter 3 caras é e a variância é .

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