Suponha que uma moeda seja lançada repetidamente até que
caras apareçam. Se a probabilidade de obter cara em cada lançamento é
, então a distribuição do número de coroas
antes de obter 3 caras segue uma distribuição de Pascal com
e
.
Calcular
e
.
Calcular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar uma moeda até conseguir 3 caras, onde a chance de dar cara em cada lançamento é 0,5. A gente precisa descobrir duas coisas sobre o número de coroas (X) que aparecem antes de chegar nas 3 caras: a média (Va(X)) e a variância (DP(X)). Vamos usar a distribuição de Pascal, que é ótima para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de Pascal. Ela é usada quando queremos saber quantas falhas (no caso, as coroas) acontecem antes de alcançar um certo número de sucessos (as caras). Os parâmetros que a gente tem são:
-
: número de caras que queremos. -
: probabilidade de dar cara em cada lançamento.
Passo 3
A média (esperança) de uma distribuição de Pascal é dada por:
Aqui,
e
. Vamos calcular:
Então, a média de coroas antes das 3 caras é 3.
Passo 4
Agora, vamos para a variância. A fórmula da variância para a distribuição de Pascal é:
Substituindo os valores:
Então, a variância é 6.
Resposta
A média de coroas antes de obter 3 caras é
e a variância é
.