Seja uma variável aleatória X com distribuição Binomial, X sim B(10,0.3),
a) qual é a função geradora de momentos da variável X ?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição Binomial com parâmetros e , ou seja, . A pergunta é: Qual é a função geradora de momentos da variável ?
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
  1. Distribuição Binomial: É uma distribuição de probabilidade que descreve o número de sucessos em uma sequência de experimentos independentes, cada um com a mesma probabilidade de sucesso .
  2. Função Geradora de Momentos (FGM): É uma função que, ao ser desenvolvida em série de potências, tem os momentos da variável aleatória como coeficientes. Ela é útil para encontrar média, variância e outros momentos da distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da função geradora de momentos. Para uma variável aleatória MX(t) = E[e^tX] , a FGM é definida como:
Onde denota o valor esperado e é um parâmetro real.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa variável binomial MX(t) = (1 - p + pe^t)^n . Sabemos que para uma distribuição binomial, a FGM é dada por:
Este resultado vem da propriedade de que a FGM é o produto das FGMs das distribuições de Bernoulli que compõem a binomial.

Passo 4

Substituindo os valores específicos do nosso problema ( MX(t) = (1 - 0.3 + 0.3e^t)^10 e MX(t) = (0.7 + 0.3e^t)^10 ) na fórmula da FGM, temos:
Simplificando dentro dos parênteses:

Resposta

A função geradora de momentos da variável MX(t) = (0.7 + 0.3e^t)^10 é:

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