Seja uma variável aleatória
com distribuição Binomial,
,
a) qual é a função geradora de momentos da variável
?
a) qual é a função geradora de momentos da variável
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória
que segue uma distribuição Binomial com parâmetros
e
, ou seja,
. A pergunta é: Qual é a função geradora de momentos da variável
?
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais:
- Distribuição Binomial: É uma distribuição de probabilidade que descreve o número de sucessos em uma sequência de
experimentos independentes, cada um com a mesma probabilidade de sucesso . - Função Geradora de Momentos (FGM): É uma função que, ao ser desenvolvida em série de potências, tem os momentos da variável aleatória como coeficientes. Ela é útil para encontrar média, variância e outros momentos da distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da função geradora de momentos. Para uma variável aleatória
, a FGM é definida como:
Onde
denota o valor esperado e
é um parâmetro real.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa variável binomial
. Sabemos que para uma distribuição binomial, a FGM é dada por:
Este resultado vem da propriedade de que a FGM é o produto das FGMs das
distribuições de Bernoulli que compõem a binomial.
Passo 4
Substituindo os valores específicos do nosso problema (
e
) na fórmula da FGM, temos:
Simplificando dentro dos parênteses:
Resposta
A função geradora de momentos da variável
é: