Seja
uma função contínua e limitada no intervalo
. Tome
. Mostre que
é integrável no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que temos uma função contínua e limitada, chamada
, definida no intervalo
. Além disso,
. O que precisamos provar é que essa função
é integrável no intervalo fechado
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre funções contínuas e integrabilidade, explicando cada passo de forma simples.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que uma função contínua em um intervalo aberto ou fechado é integrável nesse intervalo, desde que seja limitada. No nosso caso,
é contínua e limitada em
, mas precisamos considerar o ponto
para o intervalo fechado
.
Passo 3
Como
, isso significa que, à medida que nos aproximamos de
, os valores de
vão se aproximando de zero. Portanto, mesmo que o intervalo
não incluísse
, ao adicionar esse ponto onde a função vale zero, não estamos “quebrando” a integrabilidade da função.
Passo 4
Para provar formalmente, podemos considerar a definição de integral de Riemann. A integral em um intervalo fechado
é essencialmente a soma dos valores da função em subintervalos que cobrem todo o intervalo. Como
é contínua e limitada em
e
, a contribuição do ponto
para a integral em
é zero. Assim, a integral no intervalo fechado
será a mesma que no intervalo aberto
.
Passo 5
Além disso, como a função é contínua em
e se estende continuamente para
com
, não há descontinuidades ou comportamentos estranhos no ponto
. Isso garante que a função mantém a propriedade de integrabilidade no intervalo fechado.
Resposta
Portanto,
é integrável no intervalo
.