Seja phi uma função contínua e limitada no intervalo [a, b). Tome varphi(b) = 0. Mostre que phi é integrável no intervalo [a, b].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que temos uma função contínua e limitada, chamada phi, definida no intervalo [a, b). Além disso, . O que precisamos provar é que essa função phi é integrável no intervalo fechado [a, b]. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre funções contínuas e integrabilidade, explicando cada passo de forma simples.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que uma função contínua em um intervalo aberto ou fechado é integrável nesse intervalo, desde que seja limitada. No nosso caso, phi é contínua e limitada em [a, b), mas precisamos considerar o ponto b para o intervalo fechado [a, b].

Passo 3

Como , isso significa que, à medida que nos aproximamos de b, os valores de phi vão se aproximando de zero. Portanto, mesmo que o intervalo [a, b) não incluísse b, ao adicionar esse ponto onde a função vale zero, não estamos “quebrando” a integrabilidade da função.

Passo 4

Para provar formalmente, podemos considerar a definição de integral de Riemann. A integral em um intervalo fechado [a, b] é essencialmente a soma dos valores da função em subintervalos que cobrem todo o intervalo. Como phi é contínua e limitada em [a, b) e , a contribuição do ponto b para a integral em [a, b] é zero. Assim, a integral no intervalo fechado [a, b] será a mesma que no intervalo aberto [a, b).

Passo 5

Além disso, como a função é contínua em [a, b) e se estende continuamente para b com , não há descontinuidades ou comportamentos estranhos no ponto b. Isso garante que a função mantém a propriedade de integrabilidade no intervalo fechado.

Resposta

Portanto, phi é integrável no intervalo [a, b].

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