Suponham que a variável aleatória contínua bidimensional (T, Y)^top tenha sua função densidade de probabilidade (FDP) conjunta dada por:
f(t, y)=y^(n-1) / 2raizpi n 2^(n+1) / 2 Gamma(n / 2) exp -(t^2+n2 n) y I(-infty, infty)(t) I(0,+infty)(y)
em que n in1,2, ldots. Encontre a FDP (identificando-a, caso conhecida):
(b) Marginal de Y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a função densidade marginal de $ Y $ a partir da função densidade conjunta de $ (T, Y) $. Para isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade e funções de densidade. Precisaremos integrar a função densidade conjunta em relação a $ t $ para obter a marginal de $ Y $.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a função densidade marginal de $ Y $, denotada por $ f_Y(y) $, é obtida integrando a função densidade conjunta $ f(t, y) $ em relação a todas as possíveis valores de $ t $. Matematicamente, isso é representado por:
Y

Passo 3

Vamos substituir a função densidade conjunta fornecida na integral:
fY(y) = integral-infty^+infty y^(n-1)/2raizpi n , 2^(n+1)/2 Gamma(n/2) exp-(t^2 + n2n) y I(-infty, infty)(t) I(0,+infty)(y) , dt
Como $ \mathbb{I}{(-\infty, \infty)}(t) $ é igual a 1 para todo $ t $, e $ \mathbb{I}{(0,+\infty)}(y) $ indica que $ y > 0 $, podemos simplificar:
I(-infty, infty)(t)
Simplificando o expoente:
t

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
integral-infty^+infty exp-t^22n y , dt
Essa é uma integral gaussiana padrão. Sabemos que:
integral-infty^+infty e^-a t^2 , dt = raizpia
Aqui, $ a = \frac{y}{2n} $, então substituindo:
a = y2n

Passo 5

Substituindo o resultado da integral na expressão de $ f_Y(y) $:
fY(y)
Simplificando os termos:
  • Os termos $ \sqrt{\pi n} $ no denominador e $ \sqrt{2 \pi n} $ no numerador se simplificam para $ \sqrt{2} $.
  • $ y^{(n-1)/2} $ dividido por $ \sqrt{y} = y^{1/2} $ resulta em $ y^{(n-2)/2} $.
Portanto:
fY(y) = y^(n-1)/2raizpi n , 2^(n+1)/2 Gamma(n/2) exp-y2 times raiz2 pi ny
Simplificando $ \sqrt{2} / 2^{(n+1)/2} = 2^{-n/2} $:
raizpi n

Passo 6

Observando a forma da função obtenida, reconhecemos que é a função densidade da distribuição qui-quadrado com $ n $ graus de liberdade, ou mais especificamente, da distribuição gama com parâmetros $ \alpha = \frac{n}{2} $ e $ \beta = \frac{1}{2} $.

Resposta

A função densidade marginal de $ Y $ é:
Y
Essa é a função densidade da distribuição gama com parâmetros $ \alpha = \frac{n}{2} $ e $ \beta = \frac{1}{2} $.

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