Suponham que a variável aleatória contínua bidimensional
tenha sua função densidade de probabilidade (FDP) conjunta dada por:
em que
. Encontre a FDP (identificando-a, caso conhecida):
(b) Marginal de
.
(b) Marginal de
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a função densidade marginal de $ Y $ a partir da função densidade conjunta de $ (T, Y) $. Para isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade e funções de densidade. Precisaremos integrar a função densidade conjunta em relação a $ t $ para obter a marginal de $ Y $.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a função densidade marginal de $ Y $, denotada por $ f_Y(y) $, é obtida integrando a função densidade conjunta $ f(t, y) $ em relação a todas as possíveis valores de $ t $. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Vamos substituir a função densidade conjunta fornecida na integral:
Como $ \mathbb{I}{(-\infty, \infty)}(t) $ é igual a 1 para todo $ t $, e $ \mathbb{I}{(0,+\infty)}(y) $ indica que $ y > 0 $, podemos simplificar:
Simplificando o expoente:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
Essa é uma integral gaussiana padrão. Sabemos que:
Aqui, $ a = \frac{y}{2n} $, então substituindo:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral na expressão de $ f_Y(y) $:
Simplificando os termos:
- Os termos $ \sqrt{\pi n} $ no denominador e $ \sqrt{2 \pi n} $ no numerador se simplificam para $ \sqrt{2} $.
- $ y^{(n-1)/2} $ dividido por $ \sqrt{y} = y^{1/2} $ resulta em $ y^{(n-2)/2} $.
Portanto:
Simplificando $ \sqrt{2} / 2^{(n+1)/2} = 2^{-n/2} $:
Passo 6
Observando a forma da função obtenida, reconhecemos que é a função densidade da distribuição qui-quadrado com $ n $ graus de liberdade, ou mais especificamente, da distribuição gama com parâmetros $ \alpha = \frac{n}{2} $ e $ \beta = \frac{1}{2} $.
Resposta
A função densidade marginal de $ Y $ é:
Essa é a função densidade da distribuição gama com parâmetros $ \alpha = \frac{n}{2} $ e $ \beta = \frac{1}{2} $.