Seja
. Encontre
tais que
se e somente se
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
gerado pelos vetores
e
. O exercício pede para encontrar os números reais
,
e
de modo que um ponto
esteja em
se e somente se a equação
for verdadeira. Basicamente, queremos descobrir uma equação que descreva exatamente o conjunto de todos os pontos que estão em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
é o conjunto de todas as combinações lineares desses dois vetores. Ou seja, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
onde
e
são números reais.
Passo 3
Agora, queremos que
esteja em
se e somente se
. Substituindo
,
e
na equação, temos:
Passo 4
Vamos distribuir os termos:
Agora, vamos agrupar os termos com
e os termos com
:
Passo 5
Para que essa equação seja verdadeira para todos os valores de
e
, os coeficientes de
e
devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Passo 7
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 8
Sabemos que
e
. Podemos escolher um valor para
, por exemplo,
. Então:
Resposta
Os valores são
,
e
. Assim, a equação que descreve
é:
Portanto,
se e somente se
.