Seja W=L((1,1,1),(1,-1,-1)). Encontre lambda, mu, v in R tais que (x, y, z) in W se e somente se lambda x+mu y+v z=0.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial gerado pelos vetores e . O exercício pede para encontrar os números reais , e de modo que um ponto esteja em se e somente se a equação for verdadeira. Basicamente, queremos descobrir uma equação que descreva exatamente o conjunto de todos os pontos que estão em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa (s + t, s - t, s - t) . Isso quer dizer que é o conjunto de todas as combinações lineares desses dois vetores. Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como:
onde e são números reais.

Passo 3

Agora, queremos que lambda (s + t) + mu (s - t) + v (s - t) = 0 esteja em se e somente se . Substituindo , e na equação, temos:

Passo 4

Vamos distribuir os termos:
lambda s + lambda t + mu s - mu t + v s - v t = 0
Agora, vamos agrupar os termos com (s)(lambda + mu + v) + (t)(lambda - mu - v) = 0 e os termos com :

Passo 5

Para que essa equação seja verdadeira para todos os valores de lambda + mu + v = 0 lambda - mu - v = 0 e , os coeficientes de e devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
(lambda + mu + v) - (lambda - mu - v) = 0 - 0 2mu + 2v = 0 mu + v = 0 mu = -v

Passo 7

Agora, substituímos lambda + (-v) + v = 0 lambda = 0 na primeira equação:

Passo 8

Sabemos que mu = -1 e . Podemos escolher um valor para , por exemplo, . Então:

Resposta

Os valores são 0 cdot x - 1 cdot y + 1 cdot z = -y + z = 0 , e . Assim, a equação que descreve é:
Portanto, se e somente se .

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