é subespaço vetorial de
se e somente se
; (Dica: use a caracterização de subespaços vetoriais vista em aula)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se um conjunto
é um subespaço vetorial de
se e somente se
. Estamos lidando com álgebra linear, especialmente com subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender a caracterização dos subespaços vetoriais, ou seja, quais são as condições que
deve satisfazer para ser considerado um subespaço de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero:
. - É fechado sob adição: Se
, então . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então .
Passo 3
Agora, vamos analisar a condição
. Aqui,
representa uma transformação linear aplicada ao conjunto
. Para que
, cada transformação de
por
deve resultar de volta em um elemento de
.
Passo 4
Vamos provar as duas direções da implicação:
Se
é um subespaço de
, então
:
- Como
é um subespaço, ele contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. - Aplicando
a qualquer elemento de , devido à linearidade de , o resultado ainda estará em . - Portanto,
. E como é uma transformação linear que mapeia para ele mesmo, concluímos que .
Se
, então
é um subespaço de
:
-
implica que é fechado sob a transformação linear . - A linearidade de
garante que seja fechado sob adição e multiplicação por escalar. - Além disso, como transformações lineares preservam o vetor zero,
. - Portanto,
satisfaz todas as condições para ser um subespaço de .
Resposta
Dessa forma, mostramos que
é um subespaço vetorial de
se e somente se
.