S é subespaço vetorial de V se e somente se L(S)=S; (Dica: use a caracterização de subespaços vetoriais vista em aula)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se um conjunto é um subespaço vetorial de se e somente se . Estamos lidando com álgebra linear, especialmente com subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender a caracterização dos subespaços vetoriais, ou seja, quais são as condições que deve satisfazer para ser considerado um subespaço de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. É fechado sob adição: Se , então .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então .

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição . Aqui, representa uma transformação linear aplicada ao conjunto . Para que , cada transformação de por deve resultar de volta em um elemento de .

Passo 4

Vamos provar as duas direções da implicação:
Se é um subespaço de , então :
  • Como é um subespaço, ele contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar.
  • Aplicando a qualquer elemento de , devido à linearidade de , o resultado ainda estará em .
  • Portanto, . E como é uma transformação linear que mapeia para ele mesmo, concluímos que .
Se , então é um subespaço de :
  • implica que é fechado sob a transformação linear .
  • A linearidade de garante que seja fechado sob adição e multiplicação por escalar.
  • Além disso, como transformações lineares preservam o vetor zero, .
  • Portanto, satisfaz todas as condições para ser um subespaço de .

Resposta

Dessa forma, mostramos que é um subespaço vetorial de se e somente se .

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