Sejam
,
e
,
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá dois conjuntos de vetores em
:
O objetivo é mostrar que
. Aqui,
representa o espaço gerado pelos vetores do conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de interseção de conjuntos, espaços gerados e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a interseção
, ou seja, os vetores que estão tanto em
quanto em
.
Observando os conjuntos:
- O vetor
está presente em ambos os conjuntos.
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, que é o espaço gerado pelos vetores na interseção.
Como
contém apenas o vetor nulo
, o espaço gerado por ele é apenas o próprio vetor nulo:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar
e
, os espaços gerados por
e
respectivamente.
Para
:
- Podemos verificar se os vetores são linearmente independentes. Se sim,
será um plano em .
Para
:
- Também verificamos a independência linear para determinar
.
Passo 5
Verificando a independência linear em
:
- Os vetores
e são linearesmente independentes porque não há escalar tal que .
Então,
é um plano em
.
Para
:
- Os vetores
e também são independentes, pois não existe tal que .
Então,
também é um plano em
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar
, a interseção dos espaços gerados por
e
.
Como
e
são planos, a interseção pode ser:
- O espaço trivial
, se os planos forem diferentes e não coincidirem. - Uma linha, se os planos se intersectarem de forma não trivial.
Vamos verificar qual é o caso.
Passo 7
Observando os planos
e
:
-
é o conjunto de combinações lineares de e . -
é o conjunto de combinações lineares de e .
Notamos que ambos os planos passam pela origem, mas são diferentes, portanto, sua interseção é apenas a linha ou o espaço trivial.
Para determinar, podemos resolver o sistema das combinações lineares igualadas.
Passo 8
Após resolver, percebemos que a única solução comum é o vetor nulo
.
Então,
.
Resposta
Concluímos que:
e
Portanto,
.
Parece que não conseguimos mostrar que são diferentes. Vamos revisar!
Na verdade, ao refazer os passos, percebemos que a interseção dos espaços é apenas o vetor nulo, igual ao espaço gerado pela interseção dos conjuntos. Portanto, talvez o enunciado tenha um erro ou precisamos considerar outros vetores.
Mas seguindo os passos, chegamos à conclusão de que
.