Mostre que W é um subespaço para os seguintes casos: W=(x, y, z) in R^3: a+b+c=0 é um subespaço do R^3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente quer mostrar que o conjunto é um subespaço de . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Pra resolver isso, vamos verificar se satisfaz três propriedades fundamentais: contém o vetor zero, é fechado por adição e é fechado por multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em 0 + 0 + 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero pertence a .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se, se pegarmos dois vetores quaisquer (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) e x1 + y1 + z1 = 0 e x2 + y2 + z2 = 0 em 0 + 0 = 0 , a soma deles também está em .
Vamos somar as componentes:
Como e estão em , temos:
Então:
Portanto, também satisfaz a condição de .

Passo 4

Por último, vamos ver se cx + cy + cz = c(x + y + z) é fechado por multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor c cdot 0 = 0 em e um escalar , o vetor também deve estar em .
Vamos substituir na condição de :
Como está em , sabemos que . Então:
Logo, também satisfaz a condição de .

Resposta

Concluímos que é realmente um subespaço de .

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