Mostre que
é um subespaço para os seguintes casos:
é um subespaço do
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente quer mostrar que o conjunto
é um subespaço de
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Pra resolver isso, vamos verificar se
satisfaz três propriedades fundamentais: contém o vetor zero, é fechado por adição e é fechado por multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma deles
também está em
.
Vamos somar as componentes:
Como
e
estão em
, temos:
Então:
Portanto,
também satisfaz a condição de
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado por multiplicação por escalar. Ou seja, se pegarmos um vetor
em
e um escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Vamos substituir na condição de
:
Como
está em
, sabemos que
. Então:
Logo,
também satisfaz a condição de
.
Resposta
Concluímos que
é realmente um subespaço de
.