Seja X com distribuição contínua uniforme no intervalo [-1,1]. Determine a função de distribuição acumulada de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição contínua uniforme no intervalo . Nosso objetivo é encontrar a função de distribuição acumulada (FDA) dessa variável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições uniformes e como calcular a FDA.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição uniforme contínua. É quando a variável fX(x) = 1b - a & se a <= x <= b, 0 & caso contrário, tem todos os valores no intervalo igualmente prováveis. A função de densidade de probabilidade (f.d.p) para a distribuição uniforme é constante nesse intervalo. A f.d.p é dada por:
á
onde e .

Passo 3

Aplicando os valores de fX(x) = 11 - (-1) = 12 & se -1 <= x <= 1, 0 & caso contrário e , a f.d.p fica:
á
Isso significa que a probabilidade de estar em qualquer subintervalo de é proporcional ao comprimento do subintervalo.

Passo 4

Agora, para encontrar a função de distribuição acumulada (FDC), que é , vamos integrar a f.d.p. A FDC para uma distribuição contínua é a integral da f.d.p desde menos infinito até .

Passo 5

Vamos dividir em casos para facilitar:
  1. Para FX(x) = 0 :
    Como FX(x) = integral-1^x 12 , dt = 12(x - (-1)) = x + 12 nunca é menor que -1, a FDC é 0.
    FX(x) = 1
  2. Para :
    Aqui, integramos a f.d.p de -1 até :
  3. Para :
    sempre será menor ou igual a 1, então a FDC é 1.

Resposta

A função de distribuição acumulada de FX(x) = 0 & se x < -1, x + 12 & se -1 <= x <= 1, 1 & se x > 1 é:

Exercícios relacionados

Seja X com distribuição contínua uniforme no intervalo [-1,1].
(a) Determine a média e a variância de X.
(b) Determine o valor de x tal que P(-x.
© Determine a função de distribuição acumulada de X.
Suponha que a função de distribuição acumulada da variável aleatória X seja:
F(x)=cc 0 & x<0 0,2 x & 0 <= x<4 0,04 x+0,64 & 4 <= x<9 1 & x >= 9
Determine: P(X <= 8,5)
Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 50 dias, obtendo-se os resultados abaixo:
8 11 8 12 14 13 11 14 14 15
6 10 14 19 6 12 7 5 8 8
10 16 10 12 12 8 11 6 7 12
7 10 14 5 12 7 9 12 11 9
14 8 14 8 12 10 12 22 7 15
(b) Faça um histograma e um ramo-e-folhas.
Seja Z uma variável aleatória Normal padrão, determine as seguintes probabilidades: P(-2