Seja
com distribuição contínua uniforme no intervalo
. Determine a função de distribuição acumulada de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória
que segue uma distribuição contínua uniforme no intervalo
. Nosso objetivo é encontrar a função de distribuição acumulada (FDA) dessa variável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições uniformes e como calcular a FDA.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição uniforme contínua. É quando a variável
tem todos os valores no intervalo
igualmente prováveis. A função de densidade de probabilidade (f.d.p) para a distribuição uniforme é constante nesse intervalo. A f.d.p é dada por:
onde
e
.
Passo 3
Aplicando os valores de
e
, a f.d.p fica:
Isso significa que a probabilidade de
estar em qualquer subintervalo de
é proporcional ao comprimento do subintervalo.
Passo 4
Agora, para encontrar a função de distribuição acumulada (FDC), que é
, vamos integrar a f.d.p. A FDC para uma distribuição contínua é a integral da f.d.p desde menos infinito até
.
Passo 5
Vamos dividir em casos para facilitar:
-
Para
: Comonunca é menor que -1, a FDC é 0. -
Para
: Aqui, integramos a f.d.p de -1 até: -
Para
: sempre será menor ou igual a 1, então a FDC é 1.
Resposta
A função de distribuição acumulada de
é: