Seja X com distribuição contínua uniforme no intervalo [-1,1]. Determine a função de distribuição acumulada de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória que segue uma distribuição contínua uniforme no intervalo . Nosso objetivo é encontrar a função de distribuição acumulada (FDA) dessa variável. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições uniformes e como calcular a FDA.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição uniforme contínua. É quando a variável fX(x) = 1b - a & se a <= x <= b, 0 & caso contrário, tem todos os valores no intervalo igualmente prováveis. A função de densidade de probabilidade (f.d.p) para a distribuição uniforme é constante nesse intervalo. A f.d.p é dada por:
á
onde e .

Passo 3

Aplicando os valores de fX(x) = 11 - (-1) = 12 & se -1 <= x <= 1, 0 & caso contrário e , a f.d.p fica:
á
Isso significa que a probabilidade de estar em qualquer subintervalo de é proporcional ao comprimento do subintervalo.

Passo 4

Agora, para encontrar a função de distribuição acumulada (FDC), que é , vamos integrar a f.d.p. A FDC para uma distribuição contínua é a integral da f.d.p desde menos infinito até .

Passo 5

Vamos dividir em casos para facilitar:
  1. Para FX(x) = 0 :
    Como FX(x) = integral-1^x 12 , dt = 12(x - (-1)) = x + 12 nunca é menor que -1, a FDC é 0.
    FX(x) = 1
  2. Para :
    Aqui, integramos a f.d.p de -1 até :
  3. Para :
    sempre será menor ou igual a 1, então a FDC é 1.

Resposta

A função de distribuição acumulada de FX(x) = 0 & se x < -1, x + 12 & se -1 <= x <= 1, 1 & se x > 1 é:

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