Seja X com distribuição contínua uniforme no intervalo [-1,1].
(a) Determine a média e a variância de X.
(b) Determine o valor de x tal que P(-x.
© Determine a função de distribuição acumulada de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a distribuição uniforme contínua. O que a gente precisa aqui é entender como calcular a média, a variância, encontrar um valor específico de que satisfaça uma probabilidade dada, e também determinar a função de distribuição acumulada (FDA) de uma variável aleatória que está uniformemente distribuída no intervalo .

Passo 2

Vamos começar pela parte (a), onde precisamos encontrar a média e a variância de mu = a + b2 .
Na distribuição uniforme contínua, todos os valores no intervalo sigma^2 = (b - a)^212 têm a mesma probabilidade de ocorrer. Para essa distribuição, a média ( mu = -1 + 12 = 02 = 0 ) é dada pela fórmula:
sigma^2 = (1 - (-1))^212 = (2)^212 = 412 = 13
E a variância ( ) é:
No nosso caso, e . Vamos calcular:
Média:
Variância:

Passo 3

Agora, na parte (b), precisamos encontrar o valor de P(-x < X < x) = 0,9 tal que a probabilidade de 2x2 = x = 0,9 estar entre 2x2 = x = 0,9 implies x = 0,9 e seja 0,9, ou seja:
Para a distribuição uniforme, a probabilidade de estar em um intervalo específico é proporcional ao tamanho desse intervalo.
Como está entre e , o comprimento total do intervalo é 2. Queremos que o intervalo tenha comprimento tal que:
Mas, na verdade, precisamos ajustar isso. A proporção da probabilidade é:
No entanto, isso nos dá a proporção correta da área de probabilidade. Portanto, .

Passo 4

Por último, na parte ©, vamos determinar a função de distribuição acumulada (FDA) de F(x) = 0 & se x < a x - ab - a & se a <= x <= b 1 & se x > b .
A FDA de uma variável uniforme contínua no intervalo F(x) = 0 & se x < -1 x + 12 & se -1 <= x <= 1 1 & se x > 1 é definida por:
Aplicando isso ao nosso caso onde e , temos:

Resposta

(a) Média de F(x) = 0 & se x < -1 x + 12 & se -1 <= x <= 1 1 & se x > 1 : 0; Variância de : .
(b) Valor de tal que : .
© Função de distribuição acumulada de :

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