Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a distribuição uniforme contínua. O que a gente precisa aqui é entender como calcular a média, a variância, encontrar um valor específico de que satisfaça uma probabilidade dada, e também determinar a função de distribuição acumulada (FDA) de uma variável aleatória que está uniformemente distribuída no intervalo .
Passo 2
Vamos começar pela parte (a), onde precisamos encontrar a média e a variância de .
Na distribuição uniforme contínua, todos os valores no intervalo têm a mesma probabilidade de ocorrer. Para essa distribuição, a média () é dada pela fórmula:
E a variância () é:
No nosso caso, e . Vamos calcular:
Média:
Variância:
Passo 3
Agora, na parte (b), precisamos encontrar o valor de tal que a probabilidade de estar entre e seja 0,9, ou seja:
Para a distribuição uniforme, a probabilidade de estar em um intervalo específico é proporcional ao tamanho desse intervalo.
Como está entre e , o comprimento total do intervalo é 2. Queremos que o intervalo tenha comprimento tal que:
Mas, na verdade, precisamos ajustar isso. A proporção da probabilidade é:
No entanto, isso nos dá a proporção correta da área de probabilidade. Portanto, .