Seja x um inteiro maior do que um. Prove que, se x não é divisível por nenhum número primo menor ou igual à sua raiz quadrada, então x é primo.

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um número inteiro x que é maior que 1. Precisamos provar que se x não é divisível por nenhum número primo que seja menor ou igual à raiz quadrada de x, então x é um número primo. Para isso, vamos precisar conhecer o que é um número primo e como a sua divisibilidade funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 2, 3, 5, 7 são primos porque só podem ser divididos por 1 e pelo próprio número sem deixar resto.

Passo 3

Agora, vamos supor que x não seja primo. Se x não é primo, então ele pode ser escrito como o produto de dois números inteiros menores que ele, ou seja, , onde a e b são inteiros maiores que 1 e menores que x.

Passo 4

Observemos que, se , pelo menos um desses fatores ( a ou b) deve ser menor ou igual à raiz quadrada de x, isto é, raiz(x). Isso acontece porque, se ambos fossem maiores que raiz(x), o produto seria maior que x, o que é impossível.

Passo 5

Como sabemos que x não é divisível por nenhum número primo menor ou igual a raiz(x), isso significa que nem a nem b pode ser um número primo menor ou igual a raiz(x). Mas isso contraria a nossa suposição de que x não é primo, já que então ele teria um divisor primo.

Passo 6

Portanto, nossa suposição de que x não é primo leva a uma contradição. Assim, devemos concluir que x é, de fato, um número primo.

Resposta

Portanto, se um número inteiro não é divisível por nenhum número primo menor ou igual à sua raiz quadrada, então x é um número primo.

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