Seja
um inteiro maior do que um. Prove que, se
não é divisível por nenhum número primo menor ou igual à sua raiz quadrada, então
é primo.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um número inteiro
que é maior que 1. Precisamos provar que se
não é divisível por nenhum número primo que seja menor ou igual à raiz quadrada de
, então
é um número primo. Para isso, vamos precisar conhecer o que é um número primo e como a sua divisibilidade funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número primo. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 2, 3, 5, 7 são primos porque só podem ser divididos por 1 e pelo próprio número sem deixar resto.
Passo 3
Agora, vamos supor que
não seja primo. Se
não é primo, então ele pode ser escrito como o produto de dois números inteiros menores que ele, ou seja,
, onde
e
são inteiros maiores que 1 e menores que
.
Passo 4
Observemos que, se
, pelo menos um desses fatores (
ou
) deve ser menor ou igual à raiz quadrada de
, isto é,
. Isso acontece porque, se ambos fossem maiores que
, o produto
seria maior que
, o que é impossível.
Passo 5
Como sabemos que
não é divisível por nenhum número primo menor ou igual a
, isso significa que nem
nem
pode ser um número primo menor ou igual a
. Mas isso contraria a nossa suposição de que
não é primo, já que então ele teria um divisor primo.
Passo 6
Portanto, nossa suposição de que
não é primo leva a uma contradição. Assim, devemos concluir que
é, de fato, um número primo.
Resposta
Portanto, se um número inteiro
não é divisível por nenhum número primo menor ou igual à sua raiz quadrada, então
é um número primo.
Exercícios relacionados
11.
Complete the sentences with a suitable verb in the past form
d) My family and I to Christmas Carols last night
d) My family and I
21.
Seja
uma função definida nos inteiros positivos, onde
é o número
arredondado para baixo. Prove que
para todo inteiro
.