Seja $X$ o resultado da jogada de um dado honesto. b) Empregando a função geratriz de momentos de X , ache $\mathrm{E}(\mathrm{X})$ e $\mathrm{V}(\mathrm{X})$.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar a expectativa \(\mathrm{E}(X)\) e a variância \(\mathrm{V}(X)\) do resultado de uma jogada de dado honesto, usando a função geratriz de momentos. Então, vamos precisar saber o que é função geratriz de momentos e como ela ajuda a calcular esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função geratriz de momentos (FGM). A FGM, denotada por \(M_X(t)\), é uma ferramenta que nos permite calcular os momentos (como a expectativa e a variância) de uma variável aleatória \(X\). Ela é definida como:
\[
M_X(t) = \mathrm{E}(e^{tX})
\]
Isso significa que a FGM é a expectativa do exponencial \(e^{tX}\), onde \(t\) é uma variável real.
Passo 3
Agora, vamos calcular a FGM para o nosso dado honesto. Como o dado tem 6 faces, cada uma com probabilidade \(\frac{1}{6}\), os possíveis valores de \(X\) são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Então, a FGM fica:
\[
M_X(t) = \sum_{k=1}^{6} e^{tk} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6}(e^{t} + e^{2t} + e^{3t} + e^{4t} + e^{5t} + e^{6t})
\]
Passo 4
Para encontrar a expectativa \(\mathrm{E}(X)\), usamos a propriedade da FGM que diz que o primeiro momento (expectativa) é a primeira derivada da FGM avaliada em \(t = 0\):
\[
\mathrm{E}(X) = M_X'(0)
\]
Vamos derivar \(M_X(t)\):
\[
M_X'(t) = \frac{1}{6}(e^{t} \cdot 1 + e^{2t} \cdot 2 + e^{3t} \cdot 3 + e^{4t} \cdot 4 + e^{5t} \cdot 5 + e^{6t} \cdot 6)
\]
Agora, avaliamos em \(t = 0\):
\[
M_X'(0) = \frac{1}{6}(1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 6) = \frac{1}{6}(21) = 3,5
\]
Passo 5
Para encontrar a variância \(\mathrm{V}(X)\), usamos a segunda derivada da FGM. A variância é dada por:
\[
\mathrm{V}(X) = M_X''(0) - [M_X'(0)]^2
\]
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada:
\[
M_X''(t) = \frac{1}{6}(e^{t} \cdot 1^2 + e^{2t} \cdot 2^2 + e^{3t} \cdot 3^2 + e^{4t} \cdot 4^2 + e^{5t} \cdot 5^2 + e^{6t} \cdot 6^2)
\]
Avaliando em \(t = 0\):
\[
M_X''(0) = \frac{1}{6}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{1}{6}(91) = 15,1667
\]
Agora, usando a relação da variância:
\[
\mathrm{V}(X) = 15,1667 - (3,5)^2 = 15,1667 - 12,25 = 2,9167
\]
Resposta
A expectativa \(\mathrm{E}(X)\) é igual a \(3,5\) e a variância \(\mathrm{V}(X)\) é igual a \(2,\!9167\).
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