Suponha que uma moeda mostra a face cara 4 vezes mais frequentemente do que a face coroa.
b) Qual o número esperado de lançamentos até a primeira ocorrência de cara?
b) Qual o número esperado de lançamentos até a primeira ocorrência de cara?
Passo 1
Vamos entender o problema: uma moeda está desequilibrada e mostra a face cara 4 vezes mais frequentemente que a coroa. Queremos descobrir o número esperado de lançamentos até que apareça a primeira cara. Vamos usar conceitos de probabilidade e valor esperado para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar as probabilidades de cada face da moeda. Sabemos que a cara aparece 4 vezes mais que a coroa. Vamos chamar a probabilidade de sair coroa de
. Então, a probabilidade de sair cara será
.
Passo 3
Sabemos que a soma das probabilidades de todos os possíveis resultados deve ser 1. Portanto:
Substituindo
por
:
Assim, a probabilidade de sair cara é:
Passo 4
Queremos encontrar o número esperado de lançamentos até a primeira ocorrência de cara. Isso é descrito pela distribuição geométrica, que calcula o número de tentativas até o primeiro sucesso em experimentos de Bernoulli. O valor esperado
para uma distribuição geométrica com probabilidade de sucesso
é dado por:
Passo 5
Substituindo
na fórmula:
Resposta
O número esperado de lançamentos até a primeira ocorrência de cara é
ou 1,25 lançamentos.