Seja X o resultado da jogada de um dado honesto.
a) Determine a função geratriz de momentos de X .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos como o resultado da jogada de um dado honesto. Isso significa que pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, cada um com a mesma probabilidade de . O conteúdo da matéria é a Função Geradora de Momentos (FGM), e vamos precisar entender como calcular essa função para uma variável aleatória discreta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Função Geradora de Momentos. A FGM, denotada por MX(t) = E[e^tX] , é definida como:
Isso significa que precisamos calcular a expectativa do . Para uma variável aleatória discreta, a expectativa é dada pela soma de multiplicado pela probabilidade de cada valor de .

Passo 3

Como MX(t) = sumx=1^6 e^tx cdot 16 pode assumir os valores 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, e cada valor tem probabilidade , substituímos na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa soma. Substituindo cada valor de MX(t) = 16 ( e^t cdot 1 + e^t cdot 2 + e^t cdot 3 + e^t cdot 4 + e^t cdot 5 + e^t cdot 6 ) :

Passo 5

Simplificando, a função geradora de momentos para MX(t) = e^t + e^2t + e^3t + e^4t + e^5t + e^6t6 fica:

Resposta

A função geradora de momentos de MX(t) = e^t + e^2t + e^3t + e^4t + e^5t + e^6t6 é:

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