Seja
o resultado da jogada de um dado honesto.
a) Determine a função geratriz de momentos de X .
a) Determine a função geratriz de momentos de X .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos
como o resultado da jogada de um dado honesto. Isso significa que
pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, cada um com a mesma probabilidade de
. O conteúdo da matéria é a Função Geradora de Momentos (FGM), e vamos precisar entender como calcular essa função para uma variável aleatória discreta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Função Geradora de Momentos. A FGM, denotada por
, é definida como:
Isso significa que precisamos calcular a expectativa do
. Para uma variável aleatória discreta, a expectativa é dada pela soma de
multiplicado pela probabilidade de cada valor de
.
Passo 3
Como
pode assumir os valores 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, e cada valor tem probabilidade
, substituímos na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa soma. Substituindo cada valor de
:
Passo 5
Simplificando, a função geradora de momentos para
fica:
Resposta
A função geradora de momentos de
é: