Seja X sim Bin(5 ; 0,3). Determine
(a) P(X<3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros tentativas e probabilidade de sucesso . O que precisamos descobrir é a probabilidade de ser menor que 3, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição binomial. É uma distribuição de probabilidade que descreve o número de sucessos em P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso . A fórmula para calcular a probabilidade de exatamente sucessos é:
Onde é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas.

Passo 3

No nosso caso, queremos calcular , que é a soma das probabilidades de ser 0, 1 ou 2. Então vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente e depois somá-las.

Passo 4

Vamos começar com P(X = 0) = binom50 cdot 0,3^0 cdot (1 - 0,3)^5 - 0 = 1 cdot 1 cdot 0,7^5 approx 0,16807 :

Passo 5

Agora, P(X = 1) = binom51 cdot 0,3^1 cdot (1 - 0,3)^5 - 1 = 5 cdot 0,3 cdot 0,7^4 approx 0,36015 :

Passo 6

E P(X = 2) = binom52 cdot 0,3^2 cdot (1 - 0,3)^5 - 2 = 10 cdot 0,09 cdot 0,7^3 approx 0,3087 :

Passo 7

Agora, somamos as três probabilidades:
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 0,16807 + 0,36015 + 0,3087 approx 0,836

Resposta

A probabilidade de ser menor que 3 é aproximadamente .

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